まず最初は等差数列です。
等差数列とは何かというと
隣り合った項の差が等しい数列
です。例えば次のような数列は等差数列と呼びます。
1 3 5 7 9 11 …
この数列の場合は「初項から2ずつ増えている数列」です。言い換えれば「隣り合った項の差が2で常に等しい」と言えます。
そこでこのような等差数列の隣り合った項の差を「公差」と呼びます。
上の数列では公差が2ということになります。まずはここまで。難しくないですね？
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等差数列の一般項
数列で大事なことは一般項を求めることでした。要するに第何項目がどんな数字なのかがすぐわかるような式を用意したいということです。
一般項は慣習上 \(a_{n}\) で表します。これは第 \(n\) 項目がなんなのかを表す意味が込められています。
等差数列の場合この一般項はどうなるでしょうか？
例えば先ほどの等差数列の第3項目は5でしたが、見方を変えて考えてみます。
等差数列は隣り合う項の差が等しいのでしたね。言い換えれば前の項に公差を足せばその項になるということです。
それはまたすなわち初項(第1項目)に何回か公差を足せば今考えてる等差数列の項が得られるということです。
たしかに第3項目の5は初項である1に2を2回足せば得られます。第4項目の7は初項に2を3回足せばいいのですね。
では一般的に考えます。第 \(n\) 項目は \(n\) を使ってどう表せるでしょうか？
初項に2をn-1回足せば得られそうですね。第4項目であれば3回足したのですから。
これを式で書くと
$$a_{n}=1+(n-1)\times 2$$
となります。2を \((n-1\) 回足すというのを2を\((n-1\) 倍するとしても同じなのでそう書きました。
整理すると
$$a_{n}=2n-1$$
です。これが今考えている数列の一般項になります。たしかにこの \(n\) を4にすると4項目が出てきますね。
$$a_{4}=2\times 4 +1=8+1=9$$
長々と話してきましたが等差数列の場合は初項と公差さえわかれば一般項は導き出せてしまうことが理解できます。
例えば初項3、公差5の等差数列の一般項は
$$a_{n}=3+(n-1)\times 5$$
より
$$a_{n}=5n-2$$
になるのです。要するに
初項が \(a\) 、公差が \(d\) の等差数列の一般項は
$$a_{n}=a+(n-1)\times d$$
で表せるということです。
成り立ちがわかると式の意味がわかりますね。
終わりに
ここまで長々と話してきましたが数列は一般項を出せることが大事です。まずは等差数列と言われた時にすぐ上の一般式が思いつくようにしてください。なんでこの式になるんだっけと思ったらまたここに戻ってきてくださいね。
ではまた。
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