三角比の導入

 

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三角形の特徴をつかむためには

三角形は私たちにはなじみ深い図形です。線を使ってできる最小の閉じた図形です。この三角比という分野では特にこの三角形に的を絞って議論をしていきます。

私たちは今まで三角形についていろいろなことを知っている「つもり」です。

例えば三角形の面積は「底辺\(\times\)高さ\(\div\)２」で求められますし、三角形の相似・合同についても中学の範囲で学びました。三平方の定理という素晴らしい公式も知っています。二等辺三角形についても詳しく学びました。

しかしこれはまだまだ三角形を知ったことにはなりません。三角形は実はもっと奥が深いのです。

例えば次の図形のわかっていない辺の長さが出せますでしょうか。

おそらく中学の範囲では難しいのではないでしょうか（できなくはないです）。ですがこれからやる「三角比」を使うと簡単に求めることができるのです。これだけでもありがたさを感じられると思います。

三角比を扱えるようになるとできることがとても増えます。それは三角形の面積等にも応用ができ、非常に便利なのです。すなわち三角形についてもっと知り・特徴をつかむことができるというわけですね。ここからは三角比について勉強していきます。まずは「三角比とは何か」です。

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三角比の定義

まず、三角比とは何かというと

直角三角形における、ある辺とある辺の比

です。そして、この比は三角形の内角により変化していく（ここについてはあまり深く考えないほうがいいかもしれません、三角比をとりあえず受け入れるとわかってきます）ので、それを次のように記号で定義します。

 

 

これで計算される値を、角度\(\theta\)に対する三角比といいます。

角度はよく\(\theta\)を使うのでこれにも慣れていきましょう。

上から「サイン」「コサイン」「タンジェント」です。例えば次の直角三角形のsin、cos、tanはどうやって計算できるでしょうか。

定義にならって入れてみると、

$$\sin 60^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\cos 60^\circ =\frac{1}{2}$$

$$\tan 60^\circ =\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$$

今計算した三角形は直角三角形の代表例です。中学生あたりで「\(60^\circ\)、\(30^\circ\)の直角三角形は覚えましょう」と言われたのではないでしょうか。この直角三角形は大きさによらず、辺の比は決まっていて「\(1:2:\sqrt{3}\)」でした。なのでこの直角三角形の三角比を計算するといつでも上の値になります。

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三角比を考える時の注意点

ここで一つ注意してほしいことは、

考える角度の位置と、直角の位置

です。なぜこんなことをいうかというと、先ほど

「左下に考える角度」「右下に直角」

を置いて三角比を定義したので、これにはかならず則らなければなりません。例えばさきほどの直角三角形で右上の角度は\(30^\circ\)ですが、これの三角比を求めるときには

と横に倒してから考えるとよいです。これで考えれば\(30^\circ\)の三角比は

$$\sin 30^\circ =\frac{1}{2}$$

$$\cos 30^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\tan 30^\circ =\frac{1}{\sqrt{3}}$$

と計算できます。結構まちがえるので気を付けましょう。

終わりに

この記事から三角比に入っていきます。まずはサイン。コサイン、タンジェントの定義をしっかりと呑み込みましょう。実際問題ここでやった定義は問題で使うときもあります。ただの定義だと思わず、みくびらずに取り組んでくださいね。

ではまた。