２次関数　共有点の問題

今回の問題はこちら。

 

 

 

２次関数の典型的な問題です。２次関数のグラフのイメージがしっかりできているか、グラフを使って問題を不等式の形に持ち込めるかが解答のカギになります。

問1は教科書の例題レベルですが、問1の解法として判別式での解き方しか知らない人は、問2は解けないでしょう。この問題を通して2のような問題を解けるようになってください。グラフが不可欠です。

問1 判別式とグラフの関連を見る

では行きましょう。最初の問題はなんてことはありません。２次関数の\(x\) 軸との交点は\(y=0\) とした時の方程式の解でしたから、\(x^2-2kx+2k+3=0\) の解の個数が今回は２つになれば良いのですね。ということはつまり判別式 \(D>0\) であれば良いので、

$$D=(-2k)^2-4\cdot 1\cdot (2k+3)=4k^2-8k-12>0$$

で

$$4k^2-8k-12>0 \nonumber$$

$$k^2-2k-3>0\nonumber$$

$$(k-3)(k+1)>0$$

２次不等式は大丈夫ですね？これの答えは

$$k<-1\ ,\ k>3$$

です。

さて、問1はこれで終わりなのですが、次の問題のためにもグラフを使った解法を見せます。一手間かかりますが、次のためなのでお付き合いください。

２次関数ですからまずはグラフを書きます。平方完成です。

$$y=x^2-2kx+2k+3=(x-k)^2-k^2+2k+3$$

簡単ですね。これを見てわかる通りグラフは下に凸、頂点は \((k,-k^2+2k+3)\) です。頂点に文字が入っているのでグラフの位置は定まりませんが、問題では必ず \(x\) 軸と２点で交点を持たなければならないと言っています。ということは下に凸のグラフであるから、頂点が\(x\) 軸よりも下にあればいいということになります。イメージできましたか？これを数式で表すと、頂点の \(y\) 座標が負であればいいので

$$-k^2+2k+3<0$$

これは

$$k^2-2k-3>0$$

とできるので先ほどと同じ式が出てきます。

どうでしたか？大丈夫な人は次に行きましょう。ん？と思った人はなんども見直したり参考書、このサイトの２次関数のところを見直してきてくださいね。

いったん広告の時間です。

問2 ２次方程式にもグラフ、なんでもグラフ！

では2に移ります。

この問題はまず異なる２点で交わらなければならないので、1の問題の範囲は満たさなければなりません。それを確認した上で問題に移りましょう。

今考える問題のようなパターンは、とにかくイメージづくりが大事です。少し荒い手書きの画像で申し訳ありませんが、次の図をみてください。

３つほどグラフを描いてみました。図に書いてある通り、左が題意を満たす、中央と右は題意を満たさないパターンです。題意を満たすためにはどのような条件を課せば良いでしょうか。

数学はイメージを数式にして初めて意味のあるものになります。上の図や、自分で試行錯誤してみて、イメージが掴めた人はもう少しです。そもそも試行錯誤してないよーという人はやってみましょう。そこを自分でやってみるかどうかが数学を本当にできるようになるための第一歩です。

さて、３つの図から何がいえるでしょうか。少し眺めてみると注目すべきところが見えてきます。それは

です。初めてこのような問題にチャレンジしてここに気づいたら相当センスがあると思います笑。正直管理人も初めての時にここに注目できたかというとそうではなかったかもしれません。

なぜか、それは二次関数は軸について対称になっていて放物線を描くからです。今、グラフは下に凸で、\(-2<x<4\) の間に交点がなければならないなら、それは \(x=-2\ ,\ x=4\) の時の \(y\) 値がプラスでないといけません。そこからグラフは内側に下がっていくのですから。

また、軸はもちろん \(-2<x<4\) の間にあるべきでしょう。内側にないのに題意を満たすことは不可能ですもんね。

というわけで、条件は次の通りです。わかりやすいように \(f(x)=x^2-2kx+2k+3\) としておきましょう。

 

 

式(7)より

$$f(-2)=6k+7>0 \nonumber$$

$$k>-\frac{7}{6}$$

式(8)より

$$f(4)=-6k+19>0 \nonumber$$

$$k>\frac{19}{4}$$

式(3),(9),(10),(11) より共通範囲を求めて

$$-\frac{7}{6}<k<1\ ,\ 3<k<\frac{19}{6}$$

です。

最後は大丈夫ですね？わかりづらかったら数直線を書きましょう。

終わりに

今回は２次関数の中でも、非常に大事な問題に触れました。グラフを使って条件を絞っていく問題は、いかに試行錯誤して自分で理解しておくことができるかが重要です。解答を鵜呑みにして「この時はこうやるんだ」と覚えていると、後で壁にぶつかります。なぜそうすれば題意を満たすのかを常に、どの問題でも考えながら取り組みましょう。

ではまた。