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合成関数の微分公式と考え方

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

この記事のトピックは「合成関数の微分公式とその考え方・覚え方」です。

 

 

合成関数の微分は「微分」の基本

私たちはここからいろんな関数を微分していくわけですが、微分を行う上で絶対に避けて通れない微分公式をここで説明します。

この微分公式はこれから行うであろう三角関数や指数・対数関数などの微分を行う上でも絶対に頭に入れておかなければいけない事項です。

それは何かというと

 

合成関数の微分公式

 

です。合成関数は聞いたことがありますね。この記事

 

合成関数とは その意味と性質を徹底解説 逆関数との関係も
合成関数とは?二つの関数を組み合わせる 私たちはこれまで色々な関数を見てきました。基本的な形を覚えた後は、それらの平行移動などを通してグラフを考えてきました。 私たちは関数を見た時にそのままどんな関数かを考えてきましたが、ここでは少し見...

 

でも説明しましたが、簡単に言えば

 

二つの関数が合わさってできた関数

 

でした。と言っても私たちが扱っている関数は実は多くが合成関数で

 

\(y=(x+1)^2\)

 

という関数も

 

\(f(x)=x^2\) と \(g(x)=x+1\) の合成関数 \(y=f(g(x))\)

 

なのでしたね。ですから合成関数の記事で使った言葉を借りるならば

 

「普通の関数以外」は全て合成関数

 

であるのです。そしてその合成関数を微分する際にはこれから学ぶ

 

合成関数の微分公式

 

が必要になります。これから解かなくてはならない問題は、多くが合成関数になるので、この知識は必須になります。

では早速公式の解説に移りましょう。

いったん広告の時間です。

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合成関数の微分公式

合成関数を微分するとどうなるか、まずは答えだけを示してしまいます。

 

合成関数 \(y=f(g(x))\) を微分すると

 

\(y’=f’(g(x))g’(x)\)

 

となる

 

実はこれだけです。何が起こっているのか最初はよくわからないと思うので、簡単な例でこの公式の使い方を見ていきます。

例えば

例題\(y=(2x+1)^2\) を微分せよ

こんな問題を考えることにしましょう。実際、この関数は

 

\(f(x)=x^2\) と \(g(x)=2x+1\) の合成関数 \(y=f(g(x))\)

 

ですね。これを微分するとどうなるかというと先ほどの合成関数の微分公式を使うとこうなります。

 

\(y’=2(2x+1)\cdot (2x+1)’\)

 

です。「’」は微分してくださいという記号でしたね。つまり

 

\(y’=2(2x+1)\cdot 2=4(2x+1)\)

 

となります。つまり

 

普通に微分して

その後中身を微分する

 

ことをしているのです。

 

「普通に微分」というのは「基本の関数の微分をする」

 

ことです。その微分をした関数の変数は合成したそのままになります。これが \(f’(g(x))\) の意味ですね。

その後ろには「中身の微分」をかけます。これが \(g’(x)\) の意味です。

 

もう一度確認しますね。

 

 

 

普通に微分して

 

その後中身を微分する

 

 

 

ですよ。

問題演習をしてみる

少し問題をやって確認してみましょう。

例題\(\displaystyle y=\frac{1}{(3x+2)^3}\)を微分せよ

見た瞬間にまずは「合成関数の微分」であることを頭に入れましょう。次にどのような関数が合成されているのかを確認します。

今回は

 

\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^3}\) と \(g(x)=3x+2\)

 

ですね。よって計算としては \(\displaystyle f’(x)=(x^{-3})’=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^4}\) ですから

 

\begin{eqnarray}y’&=&f’(g(x))\cdot g’(x)\\[5pt]&=&-\frac{3}{(3x+2)^4}\cdot(3x+2)’\\[5pt]&=& -\frac{3}{(3x+2)^4}\cdot 3\\[5pt]&=&-\frac{9}{(3x+2)^4}\end{eqnarray}

 

ですね。普通に微分して、その後ろに中身の微分をかけました。慣れてくるまでは二つに分けてゆっくり計算するのがいいでしょう。

もう一問。

例題\(y=(1-2x^2)^3\)を微分せよ

これはさっきよりも簡単ですね。

\(f(x)=x^3\) と \(g(x)=1-2x^2\) で合成関数が作られていると考えれば良さそうです。

では実際に微分してみると

 

\begin{eqnarray}y’&=&3(1-2x^2)^2\cdot (1-2x^2)’\\[5pt] &=&3(1-2x^2)^2\cdot (-4x)\\[5pt]&=&-12x(1-2x^2)^2\end{eqnarray}

 

ですね。中身の微分が今回は \(-4x\) となることに注意です。必ず定数になるわけではないですよ。

というわけで答えは

 

\(y’= -12x(1-2x^2)^2\)

 

ですね。

まとめ

ここで出てきた合成関数の微分はもちろんべき関数だけではなく、これから学ぶ全ての関数について使っていく公式です。この先では基本の関数を学びながら、それらが入った合成関数を微分していくことになります。その都度復習しながら学習を進めていくと良いです。

ではまた。

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