tanとは？tanを単位円で考えるとどうなるか

 

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この高校数学の知識庫でtanだけ別で扱っているのはもちろん理由があります。

一つは \(\tan\) が問題であまり出てこないことです。もちろんテストにも入試にも出てきます。これはやらなくていいということではなく、そもそも \(\sin\) と \(\cos\) ができなければ \(\tan\) もできないので、まずは三角関数に触れてもらうために \(\tan\) を除いて全体を見てもらいたいと考えているからです。

もう一つ重要な理由は \(\tan\)  は \(\sin\) と \(\cos\) の諸公式から導けることが多いからです。 \(\sin\) と \(\cos\) がわかっていれば三角比でも出てきた重要な式

 

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

 

で多くの公式が作れます。ですから新しく覚える作業がある程度少ないのですね。このことは別記事で解説しています。

ですがこれから述べることは

 

\(\tan\) を単位円でイメージする

 

です。このイメージは非常に大事で、今後の応用、 \(\tan\) をどう扱うかに効いてきます。

 

ではやってみましょう。まず先程も出てきましたが、\(\tan\) は

 

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

 

で \(\sin\) 、\(\cos\) と結びついています。\(\sin\) と \(\cos\) は単位円ですでにイメージできるはずですね。

例えばある角度 \(\theta\) の \(\sin\) 、\(\cos\) は単位円においては

 

 

にあるように単位円上の点の座標が対応するのでした。 \(x\) 座標が \(\cos\)、\(y\) 座標が \(\sin\) であることに注意しましょう。

では \(\tan\) は単位円上ではどこにあるのでしょうか。そもそも \(\tan\) は単位円上で考えられるのでしょうか。

実はできます。 \(\tan\) は

 

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

 

でしたが、先ほどの図で言うとこれは点の座標の \((x,y)\) を使えば

 

$$\tan\theta=\frac{y}{x}$$

 

を計算していることになりますね。これはなんだか見覚えがある形です。

実はこれは

 

点と原点を結ぶ直線の傾き

 

になっているのです。

直線の傾きは

 

$$傾き＝\frac{yの増加量}{xの増加量}$$

 

でしたね。今回の場合 \(x\) の増加量は原点から見れば \(x\) すなわち \(\cos\) です、 \(y\) の増加量はこれも \(y\) で \(\sin\) ですね。

つまり単位円においては点を決めた時、

 

原点と点を結ぶ直線の傾きが \(\tan\) の値に対応している

 

のです。

例えば45度を考えましょう。三角比の知識から

 

$$\tan 45^{\circ}=1$$

 

でしたね。では単位円で考えた時はどうでしょう。単位円で \(45^{\circ}\) に対応するのは

 

 

ですね。この時この点の座標は

 

$$(\cos 45^{\circ}\ , \sin 45^{\circ})$$

 

より

 

$$(\frac{1}{\sqrt{2}}\ ,\ \frac{1}{\sqrt{2}})$$

 

です。ということはこの点と原点を結ぶ直線の傾きは

 

$$傾き=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=1$$

 

ですよね。これはまさに \(\tan 45^{\circ}\) の値です。

 

まあ、当たり前ですね。やってることは三角比の公式なのか、点から傾きを求めているかが違うだけで式は同じです。

 

ですが単位円においてある角度の \(\tan\) もしくは \(\tan\) からそれに対応する角度を考えたければ

 

単位円上の点と原点を結ぶ直線の傾き

 

を見ればいいだけになるのです。今のところメリットが無いように思えると思いますが、この考え方は特に \(\tan\) が含まれる不等式を解くときに最重要の考え方です。もちろん応用面でも絶対に押さえておきたいところです。

というわけでこれで単位円上で \(\tan\) を考えることができるようになりました。

\(\tan\) はとにかく傾きですよ。

いったん広告の時間です。

まとめ

今回は \(\tan\) を単位円上で考えることを行いました。今回やったことはあまり意味があるように見えないかと思いますが、\(\sin\) 、\(\cos\)が入った方程式・不等式で単位円がとても便利で考えやすくできたように、 \(\tan\) の含む方程式・不等式をより考えやすくしてくれます。図形的な応用にも非常に役に立つのでしっかりと学習しておくことをお勧めします。

ではまた