整式を商、あまりで表現する

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割り算を式で表すと?

整式の割り算について学ぶと整式同士の関係を理解することができます。

どういうことかを説明しましょう。割り算をすることは割る数割られる数によってあまりを求めることです。これは適当な数字の割り算を考えてみればわかりやすいでしょう。

例えば \(15\div 2\) は商が \(7\) 、あまりが \(1\) です。

これを式で表すとこうなります。

 

$$15=7\times 2 +1$$

 

このように割られる数である \(15\) 割る数あまりでかけます。言葉で書くとこんな感じ。

 

割られる数 \(=\) \(\times\) 割る数 \(+\) あまり

 

ですので整式でもこれは必ず成り立つはずです。

 

その前に、これから私たちは整式のことを

 

$$P(x)$$

 

と表します。関数ではないのですが \(x\) が入っている式ですよということを明確にするためです。数字とは違うので文字だけでおくのは不親切ですものね。よく使うのは \(P(x)\ ,\ Q(x)\ ,\ R(x)\) などです。

もし \(x\) が \(2\) の時の整式の値がどうなるのかということを考える場合は

 

$$P(2)$$

 

と書くことにします。例えば整式が

 

$$P(x)=3x^2+4x-3$$

 

と与えられた場合、 \(P(2)\) は

 

$$P(2)=3\cdot (2)^2+4\cdot 2 -3=12+8-3=17$$

 

と計算せよということを言っています。記号はその都度どんどん覚えていきましょう。

 

話を戻します。整式で割り算をした時の表式も数字のそれと同じはずです。今、割られる整式\(P(x)\) 、 割る整式\(S(x)\)\(Q(x)\)あまり\(R(x)\) とした時、これらの関係は

 

$$P(x)=S(x)\times Q(x)+R(x)$$

 

となるはずです。例えば

 

$$2x^3+5x^2+6x-4$$

 

 

$$x-2$$

 

で割ることを考えてみます。筆算すると

 

 

になります。もし割り算をまだやっていなければこの記事を参照ください。

記事

これを先ほど考えた式で書くと

 

$$2x^3+5x^2+6x-4=(2x^2+9x+24)(x-2)+44$$

 

になりますね。大丈夫でしょうか。ちゃんと右辺を計算すると左辺と等しくなりますよね。

 

これを見てわかる通り整式は必ずこの表式でかけます筆算をすれば簡単にかけますね。

 

もう一つ例題をやって終わりにしましょう。

 

$$3x^3+9x^2-2x-6$$

 

 

$$x^2-3x+4$$

 

で割った時の商とあまりを使って整式を表現してみましょう。

やることは単純です。割り算します。

 

 

あとはこれを式にするだけです。

 

$$3x^3+9x^2-2x-6=(x^2-3x+4)(3x+18)+40x-78$$

 

できましたね。忘れそうになったら必ずいつもの数字の割り算を思い出してくださいね。

まとめ

今回は整式の別の表現を学びました。このことが基礎となってこの後の剰余の定理や因数定理に繋がっていきます。まずはこの表式になれることを目標に勉強してください。

ではまた

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