2次方程式と3次方程式の解と係数の関係

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高校数学において方程式で最も多く出てくるのは2次方程式と3次方程式でしょう。

これらの方程式について深く理解することは高校数学をより理解するためには必要不可欠です。

ここではそれらの一つの特徴である解と係数の関係を導出してみます。

解と係数の関係は展開の公式で作れ

皆さんは解と係数の関係をどのように学んだでしょうか。もちろん読者の方々の中にはここで初めて学ぶという意欲十分な方もいると思いますが。

多くの人は覚えなさいと言われて暗記したのではないでしょうか。

 

ですがここでは導出を一緒にやって覚えることをしてみましょう。

ただ単に暗記では必ず忘れてしまいますし、単純な暗記だと思い出すトリガー(スイッチ)がないのでいざという時使えません

解と係数の関係はスタートとそのやり方さえ覚えれば簡単に導出できます。ですのでこれから行うことをしっかり読んで自分でもできるようにすると単純な暗記を抜け出せると思います。

では行きます。解と係数の関係は展開の公式から生み出されます。まずは2次方程式からいきましょう。

2次方程式の2つの解を \(x=\alpha, \ \beta\) とします。この時、この2つを解に持つ2次方程式は

 

$$(x-\alpha)(x-\beta)=0$$

 

とかけます。これは逆に方程式がこうなっていたら解は \(x=\alpha, \ \beta\) であると言えることからわかります。

ここまで大丈夫ですか。ではこれを展開してみましょう。なんてことはありません。分配法則です。

 

$$(x-\alpha)(x-\beta)=x^2-(\alpha+\beta)+\alpha\beta=0$$

 

大丈夫ですね。まずはこの式を覚えておいてください。

では次です。普通、2次方程式はこのようにかけます。

 

$$ax^2+bx+c=0$$

 

いつもの形ですね。もちろん \(a\) で割っても大丈夫なので

 

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

 

となります。

では今出した2つの式を見比べてみましょう。

 

解が \(x=\alpha, \ \beta\) の場合の式と

 

$$x^2-(\alpha+\beta)+\alpha\beta=0$$

 

2次方程式の一般的な形

 

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

 

です。係数の部分を比べると

 

$$-(\alpha+\beta)=\frac{b}{a}$$

 

$$\alpha\beta=\frac{c}{a}$$

 

が得られます。これはもし解が \(x=\alpha, \ \beta\) とわかっているなら2次方程式の係数とこんな関係が必ず成り立つということを言っています。よく出てくるのは最初の式のマイナスを右辺にした

 

$$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$$

 

$$\alpha\beta=\frac{c}{a}$$

 

です。これが解と係数の関係です。要するに

 

  1. もし解が分かっているのならその解を持つ2次方程式を簡単に作ることができる
  1. 逆に2次方程式が与えられればその解を出さずとも解の和と積がわかる

 

 

このように解と係数の関係は言い換えることもできます。

例えば \(1\) の場合を考えてみます。もし解が

 

$$x=3\ ,\ -2$$

 

である2次方程式を作るとすると、解と係数の関係から

 

$$3-2=\frac{b}{c}$$

 

$$3\times (-2)=\frac{c}{a}$$

 

計算すると、

 

$$\frac{b}{c}=1$$

 

$$\frac{c}{a}=-6$$

 

が成り立ちます。ここから \(x=3 \, -2\) を解に持つ2次方程式は

 

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

 

より

 

$$x^2+x-6=0$$

 

と分かってしまうわけです。確かにこれを因数分解して解を求めると

 

$$x^2+x-6=(x+3)(x-2)=0$$

 

となり確かに \(x=3 \, -2\) が解になっている2次方程式です。

2の場合も例を挙げておきましょう。例えば

 

$$2x^2-6x+3=0$$

 

という2次方程式があった時2つの解の和と積はなんでしょうか。

これも解と係数の関係からわかります。係数を見てあげれば

 

和\(=-\frac{-6}{2}=3\)

積\(=\frac{3}{2}\)

 

と簡単にわかります。実際にこの2次方程式を解いて和と積を取ってみると、

2次方程式の解は解の公式から

 

$$x=\frac{6\pm \sqrt{36-4\cdot 2\cdot 3}}{4}=\frac{6\pm \sqrt{12}}{4}=\frac{3\pm\sqrt{3}}{2}$$

 

ですので和は

 

$$\frac{3+\sqrt{3}}{2}+\frac{3-\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{2}=3$$

 

になります。積は

 

$$\frac{3+\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{3-\sqrt{3}}{2}=\frac{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{4}=\frac{9-3}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$

 

となり確かになっています。面倒な計算をせずとも解の和と差を出せてしまうのです。

これの何がすごいかは問題を通して分かってくるはずです。ここからは問題集などを開いて例題を解いてみることをお勧めします。

3次方程式の解と係数の関係も展開から

2次方程式と同様に3次方程式の解と係数に関係も覚えておくと便利です。これは2次方程式と同じようにできますのでやってみます。

まず3次方程式の解を \(x=\alpha\ ,\ \beta\ ,\ \gamma\) とすると

 

$$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0$$

 

が \(x=\alpha\ ,\ \beta\ ,\ \gamma\) を解に持つ3次方程式ですね。これを展開すると

 

$$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta)(x-\gamma)$$

 

$$=x^3-\gamma x^2-(\alpha+\beta)x^2+(\alpha+\beta)\gamma x+\alpha\beta x-\alpha\beta\gamma$$

$$=x^3+(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma=0$$

 

となります。少し大変ですができましたでしょうか。さらに普通3次方程式は以下のようにかけますね。

 

$$ax^3+bx^2+cx+d=0$$

 

ここから

 

$$x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$$

 

とできます。これと先ほどの式を見比べれば

 

$$\alpha+\beta+\gamma=\frac{b}{a}$$

 

$$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-\frac{c}{a}$$

$$\alpha\beta\gamma=\frac{d}{a}$$

 

 

という解と係数の関係が得られます。これが3次方程式の解と係数の関係です。

2次方程式さえ分かっていれば3次方程式も同じです。少し計算は大変ですが頑張って追ってみてください。

まとめ

解と係数の関係はとにかく作りかたをおさえて覚えることです。使い方に関しては別で解説することにしてここでは導出をしっかりと追って自分で説明できるようになれば最高です。

ではまた

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