因数定理を利用した因数分解の練習問題

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因数分解をたくさんやろう

2次方程式の因数分解は中学校の範囲でたくさんやりますが、高校の範囲、特に数学Ⅱ・Bでやるのは3次方程式の因数分解です。基本的に方針は同じなのでたくさんやって慣れておくのが得策です。ここでは問題を何題か解きながらコツなどを吸収してもらえればと思います。

この記事では因数定理を用いた因数分解を取り扱いますのでご注意を。数学Ⅰの範囲の因数分解は出てきません。

 

問題

 

まずは問題を解きましょう。自力で解いてみてできないところを復習するのが一番効率がいいです。

 

 

 

 

 

解きましたか?では解説に移ります。

 

 

 

 

これらの問題のすべてに共通しているのはこの記事

 

剰余の定理と因数定理を徹底的に解説
あまりを簡単に出すには 私たちはもう整式の割り算を行うことができます。ですが正直なところあの筆算をやるのは面倒です。必要なところだけ求める方法はないのでしょうか。 例えば「あまり」を簡単に出せたら嬉しくないですか?いや嬉しいはずです。 ...

 

で学んだ因数定理です。因数定理は

 

ある値を代入してその式の値が \(0\) になるなら、それは因数分解したときの因数になる

 

でした。ここでは詳細に書きませんが上の表現はあくまでイメージです。とにかくやることは単純で

  1. 文字にいろんな値を代入してみる
  2. もし \(x=a\) で式の値が \(0\) になれば、因数分解ができることが分かる
  3. 式を \((x-a\) で割れば余りが0になるはずなので因数分解完了

こんな流れで因数分解ができてしまいます。物は試しです。今の言葉を見ながらこれからやることを追ってみてください。

 

まずは1番。とにかくこの \(x\) に数字を代入していって計算結果 \(0\) になる数字を探します。その時のコツは

 

小さい数字から攻める

 

ことです。例えばいきなり \(5\) とかを代入するのはナンセンスです。問題を作る側から話すと、そんな大きい数字でめんどくさい計算させるのは意味がありません。見たいのはあくまで因数分解の方法を知っているのか、しっかりとその計算をできるかです。

ですからスタートは \(1\) とか \(-1\) からスタートするのが打倒ですね。

 

ではやってみます。まずは \(1\) を代入してみましょうか。

 

$$1^3+3\cdot 1^2 -13\cdot 1-15=1+3-13-15=-24$$

 

これはダメですね。めげずに次に行きます。じゃあ \(-1\) はどうでしょうか。

 

$$(-1)^3+3(-1)^2 -13\cdot(-1) -15=-1+3+13-15=0$$

 

お!来ましたね。\(x=-1\) は代入したら値が \(0\) になりました。ということは \((x+1)\) で与えられた式を割れば良さそうです。気を付けてくださいね。 \((x+1)\) で割るんですよ。

 

 

確かにあまりが \(0\) になりました。これはすなわち

 

$$x^3+3x^2-13x-15=(x+1)(x^2+2x-15)$$

 

になることを示しています。あとは商として出てきたところがまだ因数分解できる可能性があるのでそこを確認すればOKです。できそうですね。

 

$$x^2+2x-15=(x+5)(x-3)$$

 

ということで最終的に

 

$$x^3+3x^2-13x-15=(x+1)(x^2+2x-15)=(x+1)(x+5)(x-3)$$

 

と因数分解できました。こんな風に進めていけばいいだけです。意外と簡単ですよね。

 

では2番。どんどん行きます。まずは \(0\) になる数字を探します。分数がある場合はその分数が無くなるような数字を選んであげるとうまくいくかもしれません。

今回であれば例えば \(2\) でしょうか?

 

$$2^3+\frac{3}{2}\cdot 2^2-\frac{11}{2}\cdot 2 -3=8+6-11-3=0$$

 

ラッキーでした(笑)。うまくいきましたので割り算してしまいます。割る数は \((x-2)\) ですね。

 

よって、

 

$$x^3+\frac{3}{2}x^2 -\frac{11}{2}x-3=(x-2)(x^2+\frac{7}{2}x+\frac{3}{2})$$

 

となります。後ろはまだ因数分解できます。ちょっと見づらいですが

 

$$(x^2+\frac{7}{2}x+\frac{3}{2})=(x+3)(x+\frac{1}{2})$$

 

と因数分解できますので最終的に

 

$$x^3+\frac{3}{2}x^2-\frac{11}{2}x-3=(x-2)(x+3)(x+\frac{1}{2})$$

 

と計算できます。いい感じですか?

 

ではラスト3番。やってみましょう。\(0\) になるものを探しますよ。これは簡単ですかね?

 

そうです。\(x=1\) ですね。慣れてきましたでしょうか。因数分解すると

 

$$x^3+5x^2+3x-9=(x-1)(x^2+6x+9)$$

 

もちろん後ろも因数分解して、

 

$$x^3+5x^2+3x-9=(x-1)(x^2+6x+9)=(x-1)(x+3)^2$$

 

これで因数分解はできますね!3次方程式を解くときに必ず必要になるのでしっかりと押さえておいてください。

 

まとめ

 

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