弧度法で扇型のいろいろな計算が簡単に?

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はじめに

弧度法を学んだらなぜか扇型の話がされるのですが、管理人は今すぐ三角関数を学びたいという人は飛ばしても問題ないと思います。

なぜなら

 

弧度法を使うだけで三角関数には使わない

 

からです。ここで弧度法がわからなくなるぐらいなら一旦飛ばして、三角関数が全て終わってからまた戻ってきてください。全く問題ありません。

まあここで学ぶことは弧度法の一つの使い道とも言えますが管理人はあまりそう思いません。

なぜなら

 

やることは同じで式が変わって簡単に見えるだけ

 

だからです。弧度法が嫌であれば角度に直して中学校で習うやり方をやった方が間違えるよりはよっぽどいいと思います。

ですがせっかく数学の一般的な角度である弧度法を学んだので、それを使ってみたくなる気持ちもわかります。できるようになることは決して無駄ではありません。

前置きが長くなりましたがやってみましょう。

 

孤の長さ、面積を弧度法で表す

孤の長さって弧度法そのものじゃないの?と最初に思った人は素晴らしいです。しっかり理解している証拠ですね。ですが弧度法では半径が \(1\) の時の孤しか考えていなかったので、ここでは一般に半径が \(r\) の扇型を考えることにします。

例えば半径が \(r\) で中心角が \(\alpha\) (単位は度です)の孤の長さ \(l\) はどう求められるでしょうか。

 

 

もちろん円を考え円周を計算して、中心角分をかけてあげればいいので

 

$$l=2\pi\times r \times \frac{\alpha}{360}$$

 

になります。全体が360度でそのうち \(\alpha\) 度の分をかければいいのでこの式になります。

ここで角度 \(\alpha\) 度と弧度法の角度 \(\theta\) との関係は

 

$$\theta=\frac{\alpha}{180}\times \pi$$

 

より

 

$$\alpha=\frac{180}{\pi} \theta$$

 

でしたので先程の式に当てはめると

 

$$l=2\pi\times r \times \frac{\alpha}{360}=2\pi r\times \frac{180}{360\pi}\theta=2\pi r \times \frac{1}{2\pi}\theta=r\theta$$

 

となります。要するに弧度法の角度 \(\theta\) を使えば半径 \(r\) をかけるだけで弧の長さ \(l\) を求めることができるのです。

 

ですが考えてみれば当たり前のことです。半径1の円で考えていたのが弧度法でしたから、半径が \(r\) になったら \(r\) 倍すれば良さそうですよね。

ひとまず弧の長さを求める公式は

 

$$l=r\theta$$

 

となります。角度の単位には注意して使ってくださいね。

 

扇形の面積も弧度法で

この流れで扇形の面積も求めてみましょう。やることは同じでまず度で考えます。

先程と同じように半径が \(r\) の扇形を考えて中心角を \(\alpha\) 度としましょう。

 

 

この時この扇形の面積 \(S\) は、先ほどと同じ考え方で、全体の円の面積のうち \(\alpha\) 度分を計算すればいいので

 

$$S=\pi r^2 \times \frac{\alpha}{360}$$

 

ですね。大丈夫でしょうか。これを弧度法に直します。今回も \(\alpha\) 度を弧度法で表した時の角度を \(\theta\) として関係を代入すれば、

 

$$S=\pi r^2 \times \frac{180}{360\pi}\theta=\frac{1}{2}r^2\theta$$

 

となります。やってることはほとんど同じですね。1/2が出てくるのが少し変な感じですが、三角形の面積の公式にも1/2がありましたのでそれと合わせて覚えるといいかもしれません。

さて、ここまで計算してきた結果をまとめてみます。

 

  • 扇形の孤の長さ \(l\) 

 

$$l=r\theta$$

 

  • 扇型に面積 \(S\) 

 

$$S=\frac{1}{2}r^2\theta$$

 

 

まずはこれらを自分の手で計算して出してみましょう。大事です。

さてここからもう一つ公式を作ってみましょう。難しくありません。1つ目の式を2つ目に代入するだけです。

1つ目の式から

 

$$\theta=\frac{l}{r}$$

 

とできますので、弧度法の角度 \(\theta\) を消せば

 

$$S=\frac{1}{2}r^2 \theta=\frac{1}{2}r^2 \times \frac{l}{r}=\frac{1}{2}rl$$

 

となります。もし半径と弧の長さがわかっているのであれば、その情報だけで扇形の面積が出せる公式です。便利なので覚えておくと楽な時があるかもですね。

兎にも角にもまずは弧の長さと面積を出せればOKです。しっかり自分で追ってくださいね。

まとめ

弧度法を用いた扇形の話はほとんど独立していますのであまり重要でないかもしれません。ですが知っておいて損はないですし、弧度法になれる意味でもいい題材だと思います。なんにせよ三角関数とは独立しているのでそこは間違えないように。

ではまた

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