いろんな角度の三角関数を単位円で考える

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三角関数においてある角度の三角比を「覚える」のはナンセンスです。なぜなら三角関数では角度はいくらでも大きく、またマイナスの角度も考えられますから。

さらに私たちがちゃんと値を言えない三角比についても問題で問われることがありますので、角度と三角比の値をある程度繋がなくてはならないのです。

その時に必ず必要になるのが単位円の考え方です。これをマスターするとある角度を言われた時に \(\sin\theta\) はこれぐらい、\(\cos\theta\) はこれぐらいとすぐに言えるようになります。

方程式、不等式でも必要不可欠な考え方ですのでここでしっかりとおさえてください。三角関数の2/3はここに詰まっていると行っても言い過ぎではないと思います。

ではいきましょう。

単位円で三角比を考える

まずは復習です。実は単位円の考え方は三角比の範囲で少しやったことがあります。

どういうものだったかというと、まず座標平面上で半径が1の円である単位円を考えます。

 

 

この円上の点を一つとって原点と結びます。

 

 

この時 \(x\) 軸から測った角度(動径のところでやりましたね)を \(\theta\) とするとこの点の座標がまさしく角度 \(\theta\) の \(\cos\) 、\(\sin\) だったのです。

 

 

これは不思議なことではありませんでした。なぜならこの直角三角形を考えれば

 

 

\(\sin\theta=\frac{OA}{AC}\) より \(AC=\sin\theta\) 

 

\(\cos\theta=\frac{OA}{OC}\) より \(OC=\cos\theta\) 

 

でしたからね。\(x\) 座標、 \(y\) 座標に対応する長さがちゃんと \(\cos\theta\) 、\(\sin\theta\) になっています。

 

これを使えば角度が90度よりも大きくなってしまっても大丈夫です。

 

 

同じように \(x\) 軸から測った角度 \(\theta\) の三角比はその点の座標になります。

 

三角比の値がマイナスになりますがこれは自然な三角比の拡張です。これが単位円を使った三角比の考え方でした。

 

では180度より大きくなっても大丈夫でしょうか。私たちは一般角を学んだのでいくらでも角度は大きく、そしてマイナスの角度も考えられます

 

これも座標に注目すれば問題ありませんね。0度から180度でやっていたことをどんな角度になってもやればいいだけです。

例えば225度(弧度法だと \(\frac{5}{4}\pi\) です。角度は弧度法で考えられるように今から意識しておくと良いです)の \(\sin\) 、\(\cos\) はなんでしょうか。

図で書くとこんな感じですね。

 

 

これを見てわかる通り、135度のときの状態を \(x\) 軸でパタンと折り返しているだけですね。

 

もちろん

 

 

と考えればちゃんと座標を得られます。

どちらにせよ235度の \(\sin\) 、\(\cos\) 

 

$$\sin235^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

 

$$\cos235^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

 

となります。今、例として235度を選びましたが鋭い人は

 

0から180度までわかってればすぐに \(\sin\)、\(\cos\) ってわかるんじゃないの?

 

と思ったのではないでしょうか。その通りです。先程言った通り、単純に座標で考えることにしているので大きい角度になっても単位円上のどこにいるかだけが重要になるだけです。

 

例えば管理人は300度と言われたら単位円のどこにいるかをまず考えます。

 

 

そして300度はどの角度を折り返したりしたら出てくるかを考えるわけです。この場合は60度ですかね。

 

 

60度の時の三角比と比べると \(x\) は変わらず、 \(y\) がマイナスになるので \(\sin\) がマイナスになって \(\cos\) はそのままです。ですので

 

$$\sin300^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

 

$$\cos300^{\circ}=\frac{1}{2}$$

 

こんな風に考えると

 

三角比って0度から90度まで覚えていればなんとかなるんじゃない?

 

と思えてきませんか。そうなんです。全てなんて覚える必要はありません。

とにかく単位円とその角度をイメージしてください。それだけで \(\sin\) 、 \(\cos\)  の正負がわかりますし、値がどうなるかがわかります。

管理人の単位円の使い方と頭の中のイメージ

ここからは少し裏技じみているかもしれませんので興味のある人だけ見てください。管理人は単位円をどう見ているかをここでお話しします。先ほどよりももっと抽象的です。

 

管理人はまずこの3つの値を頭にイメージしてます。

 

$$\frac{1}{2}\ ,\ \frac{\sqrt{2}}{2}\ ,\ \frac{\sqrt{3}}{2}$$

 

なぜかというとこれらはそれぞれ \(\sin\theta\) 、\(\cos\theta\) に出てくる代表的な値たちで、角度としては

 

$$30^{\circ}=\frac{\pi}{6}\ ,\ 45^{\circ}=\frac{\pi}{4}\ ,\ 60^{\circ}=\frac{\pi}{3}$$

 

たちと対応してます。ですので、角度を見たときに単位円を一緒に考えれば、例えば \(\sin\theta\) に注目すると、\(\frac{\pi}{6}\) は \(\frac{1}{2}\) に対応することが一瞬でわかります。

 

 

なぜなら、私たちの知っている三角比で角度が一番小さい \(\frac{\pi}{6}\) には \(y\) 座標が一番小さい \(\frac{1}{2}\) が対応することが見えてしまうからです。

こうすると、\(\frac{\pi}{4}\) は3つの値の中で真ん中の大きさの \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) が対応することがすぐにイメージできます。

このイメージを持ってると何がいいかというと、ある角度を与えられたとき、\(x\) 座標と \(y\) 座標が大体どれくらいかがイメージできれば、値は覚えなくてもいいことです。

例えば330度という角度を考えるとき、管理人は頭の中で

 

 

という状態のみをイメージしています。そこから \(\sin330^{\circ}\) が欲しい場合は、\(y\) 座標を見て、小さい大きいを判断します。今回はマイナスなので気を付けなくてはなりませんが、見るからに330度に対応する \(y\) 座標は符号を無視すれば3つの中で一番小さいです。

ですから \(\frac{1}{2}\) が対応しそうです。あとは座標なので点の場所をイメージすれば、

$$\sin330^{\circ}=\sin\frac{11}{6}\pi=-\frac{1}{2}$$

 

とすぐにわかります。管理人はこの値を覚えているわけではなく、あくまで覚えているのは3つの値

 

$$\frac{1}{2}\ ,\ \frac{\sqrt{2}}{2}\ ,\ \frac{\sqrt{3}}{2}$$

 

のみです。もちろん \(\cos330^{\circ}\) は \(x\) 座標なので図的にも一番長いですね。

座標はプラスなので

$$\cos330^{\circ}=\cos\frac{11}{6}\pi=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

ですね。

このように三角関数の範囲において三角比の値は覚えるものではありませんというのが管理人の主張です。もし覚えれないという人がいたらそれは普通ですので安心してください。できる人は覚えてません。効率よくやってるだけですので誰でもできます。

まとめ

ここでは三角関数の範囲で非常に重要な単位円について学習しました。とにかく頭の中、あるいは書いてでもいいのでいろいろな角度の三角比をイメージできるようになることが最重要です。これができれば方程式・不等式やその他の問題をすらすらとできるはずです。この壁を破って三角関数を得意分野にしましょう。

 

ではまた。

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