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同じものを含む順列の公式 意味と使い方

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

同じものを含むとは

順列を考える問題の多くは「人」「区別のあるもの」が登場します。ですがそうでない時、例えば「色のついた球」「記号」などは少し考える必要があります。

なぜなら、球や記号は他と区別がつかないので数えすぎをしてしまう可能性があるからです。

例えば、赤玉2個と青玉1個を並べることにします。

この時3個あるので単純に考えると

 

\(3!=3\cdot 2\cdot 1=6\)

 

で計算できそうですが、並べ方を具体的に考えるとこの答えが間違っていることがわかります。

例えば

 

 

のような並べ方がありますが前の 2つの赤玉をひっくり返した

 

 

順列の考え方からすると1つのパターンになってしまいます

ですがもちろんこれは見た目が全く同じなのでパターンとしては1パターンとして見なくてはいけません

 

 

つまり普通に順列を考えてしまうと明らかに数えすぎが出てしまうのです。

ではどうしたら良いか、これは組み合わせを考えた時と同じ考え方をしましょう。

つまり

 

数えすぎを割る

 

ことにするのです。先ほどの例でいうと赤の入れ替え分、つまり \(2!\) 分だけ多いです。

ですからまず全てを並べ替えて、そのあとに並べ替えで同じになる分を割ってあげればいいですね。

パターンとして同じになるものは、もちろん同じものが何個あるかによって違います。

先ほどは赤玉2個だったのでその入れ替え(並び替え)分の \(2!\) で割りましたが、赤玉3個、青玉1個で考えた時には

 

\(\frac{4!}{3!}=\frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}=4\)通り

 

となります。3個だと一つのパターンにつきその並べ替え分の \(3!\) だけ同じものが出てきてしまいますからね。

これを踏まえれば同じものが何個出てきても大丈夫なはず。

教科書にはこんな風に書いています。

 

 

Focus

同じものがそれぞれ 個、個、個・・・ずつ計 個ある時、

この 個のものを並べる時の場合の数は

 

\(\frac{n!}{p!q!r!\cdots}\)

 

になる。

 

 

今ならわかりますよね。なぜ割っているか・何で割るのか理解できるはずです。多すぎるので割る。この発想は色々なところで使えます。

同じものを含む順列の例題

 

今、青玉3つ、赤玉2つ、白玉1つ置いてある。以下の問題に答えよ。

 

(1) 全ての玉を1列に並べる方法は何通りあるか

 

(2) 6つの玉の中から3つの玉を選んで並べる方法は何通りあるか

 

 

(1)はまさに公式通りの問題です。同じものが青玉は つ、赤玉は つありますね。

まずは全ての並べ方を考えて

 

\(6!\)

 

通り。もちろんこれだけではダメで「数えすぎ」なので青玉分の \(3!\) と赤玉分の \(2!\) で割ってあげれば

 

\(\frac{6!}{3!2!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\times 2\cdot 1}\)

 

より

 

\(6\cdot 5\cdot 2=60\)通り

 

ですね。これは簡単。公式の内容を理解できていればすんなり入ってきます。

 

では次の問題はどうでしょう。3つの球を選ぶという問題なので今までの感覚でいうと

 

\(_{6}\rm{P}_{3}\)

 

を使えばいい気がしますが、ちょっと待ってください。

例えば、青玉3個を選んだ場合、並べ替えても全く同じなので1通りになってしまいます。

選ぶ問題で扱っていたのは全て違うものを並べるという状況だったので普通に数えるとやはり数えすぎです。

これは地道にやっていくしかありませんね。ただその地道な中で公式が使えそうなところは使ってなるべく簡単に解いていきましょう。

まず

1) 青玉3つを選んだ場合

は先ほど考えたように並べ替えても全く同じなので1通りです。

他にはどんな選び方があるでしょう。次は

 

2) 青玉2個と赤もしくは白を選ぶ場合

 

を考えましょうか。やっていることは有り得るパターンを考えているだけですので難しく考えないでくださいね。

青玉2個をとったら、残り一個が赤でも白でも

 

\(\frac{3!}{2!}=\frac{3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1}=3\) 通り

 

と計算できますね。こう計算できるので赤、白に関してはパターン分けをしませんでした。青が2個なので今回学んだ同じものを含む順列の公式を使いましたよ。もちろんトータルのパターンは赤もしくは白のパターンがあるので

 

\(3+3=6\)通り

 

ですね。

 

次は

 

3) 赤玉2個と青もしくは白を選ぶ場合

 

でしょうか。これは2)と計算が同じになりますね。2個同じものを含む順列なので、青、白のパターンを考えれば

 

\(3+3=6\)通り

 

と計算できます。2)と3)は一緒にしても良かったですね。

あとは

 

4) 青1個赤1個白1個を選ぶ場合

 

ですね。これは3つを並び替えればいいので

 

\(3!=3\cdot 2\cdot 1=6\) 通り

 

です。他に選び方はなさそうです。以上から

1) 青玉3つを選ぶ=1通り

2) 青玉2つと赤か白1個を選ぶ=6通り

3) 赤玉2つと青か白1個を選ぶ=6通り

4) 青、赤、白を1つずつ選ぶ=6通り

 

ですので答えは

 

\(1+6+6+6=13\) 通り

 

となります。使い所が重要でしたね。

まとめ

今回は同じものを含む順列を数えられるようになりました。今回の問題で見たように公式をそのまま使えばいいだけでなく

場合分けをしてその中で公式を使う

ことが多いですので注意して学習してみてください。公式頼りでは基本問題しか解けません。まずは問題をしっかりと理解し、どうすればうまく数えることができるかを考えてみましょう。

ではまた。

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