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対数方程式と対数不等式の解き方

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

 

指数方程式が解ければ対数方程式も解ける?

対数の計算をやったら指数と同じようにやはり方程式と不等式を解けるようにならねばなりません。

ですが安心してください。指数の計算を出来る人は対数も方針は同じなので、変形さえできれば大丈夫です。

その方針とは

 

対数 \(=\) 対数に直す

 

これだけです。もちろん対数は底を揃えなければなりません

なぜなら指数で底が等しければ肩を見ればよかったように対数では

 

底が等しい対数同士は真数を見れば良い

 

からです。方程式、不等式どちらも底が揃っている対数通しであれば真数を見て考えるだけで良くなります。

例えば

 

\(\log_{5} x=\log_{5} 3\)

 

はすぐに \(x\) に入る数字が \(3\)であることが言えます。

ですから

 

\(2\log_{3} (2x+3)=3\)

 

のような形が出てきても対数の性質を使えば

 

\(\log_{3} {(2x+3)^{2}}=\log_{3} 9\)

 

とすれば真数だけを見ればよくなりますよね。とにかくこれを徹底することで対数計算は一気に楽になります。

もちろん少しテクニックは存在しますので随時解説していきますが、特にこの記事

 

対数法則の証明&性質の上手な使い方
  こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。   ここでは対数の性質をしっかりと証明したいと思います。正直なところ管理人は一度理解したら機械的に計算できるようになることが次のス...

 

で出ている

 

「数字を対数にする」、「真数の肩にある数字の扱い」

 

に関しては嫌という程使うので是非チェックしてからこの記事を読み進めてください。

では問題を通して解き方を考えていきましょう。

対数方程式・不等式の解き方

問題はこちら。

 

(1)の解答

まずおさえて欲しいのはとにかく数字を対数にすることです。今回の問題は

 

\(\log_{3}{(x-2)}=2\)

 

ですが、これは右辺を底が \(3\) の対数にできれば問題が解けそうです。なぜならこの記事の冒頭で底が同じであれば真数で見ることができることを知っているからです。

やることは \(2\) を底が \(3\) の対数にしてみましょう。できますね。

 

\(2=2\times 1=2\log_{3}{3}=\log_{3}{3^2}=\log_{3}{9}\)

 

よって問題は

 

\(\log_{3}{(x-2)}=\log_{3}{9}\)

 

となりますので、もう余裕です。底が同じなので真数だけ見れば

 

\((x-2)=9\)

 

 

\(x=11\)

 

です。ここで注意は真数条件を忘れないことですね。私のオススメは解いてからではなく、一番最初に確認しておくことです。絶対忘れます。

 

真数条件は

 

\(x-2>0\)

 

より

 

\(x>2\)

 

ですので今回の答えは大丈夫ですね。ちゃんと範囲に入っています。ですから安心して答えは

 

\(x=11\)

 

とできます。

 

Focus

対数=対数にする

 

数字は対数にできる

 

(2)の解答

 

次は不等式ですね。不等式の場合は底に注意します。

 

\(\log_{\frac{1}{2}}{x}\leqq 3\)

 

その前にやることは真数条件と対数にすること。やりましょう。

 

真数条件は簡単で

 

\(x>0\)

 

ですね。右辺は

 

\(3=3\log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=\log_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{3}}=\log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{8}}\)

 

より

 

\(\log_{\frac{1}{2}}{x}\leqq \log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{8}}\)

 

ですね。ここで不等式でも真数を比べればいいのですが、一つ注意がありました。それは

 

底 \(>1\) なのか \(0<\) 底 \(<1\) なのか

 

です。なぜかというと、対数の大きさは真数の大きさで必ずしも決まるわけではないからです。

 

例えば \(\log_{2}{4}\) と \(\log_{2}{8}\) はどちらが大きいですか?

もちろん、\(\log_{2}{4}=2, \, \log_{2}{8}=3\) ですから 

 

\(\log_{2}{4} < \log_{2}{8}\) 

 

です。真数を見ても \(4 < 8\) で対数自体の大きさと真数の大きさの大小関係は同じです。

 

ですが、 \(\log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}\) と \(\log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{8}}\) の値はどちらが大きいですか?

これは \(\log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}=-2\ ,\ \log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{8}}=-3\) より

 

\(\log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4} >\log_{1}{2}}{\frac{1}{8}}\) 

 

ですよね。これは真数は \(\frac{1}{4} < \frac{1}{8}\) なのに、対数になると大きさが逆なので対数自体の大きさと真数の大きさの大小関係は逆の関係となります。

 

この変化の境目は「底が1より大きいのか」それとも「底が0から1の間なのか」です。

 

ですので不等式の場合は真数を比べる時に必ず底の大きさを確認します。今回の問題の場合、底は 1/2 で \(0\) と \(1\) の間なので

 

\(\log_{\frac{1}{2}}{x}\leqq \log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{8}}\)

 

より

 

\(x \geqq \frac{1}{8}\)

 

になるのです。大丈夫ですね。あとは真数条件との共通範囲を取ればいいので、結局

 

\(x>0\ ,\ x\geqq \frac{1}{8}\)

 

より

 

\(x\geqq \frac{1}{8}\)

 

です。

 

 

Focus

不等式は底に注意

 

底 \(>1\) の時は真数と対数の大小関係が同じ

\(0<\) 底 \(<1\) の時は真数と対数の大小関係が

 

(3)の解答

 

これまでのことを使いながらどんどん問題をときましょう。

 

\(\log_{2}{(x+2)}+3=\log_{2}{(2x+5)}\)

 

まずは真数条件です。複数ある場合はもちろん全て確認します。全ての真数がプラスになるような範囲を探しておきます。

 

\(x+2>0\ ,\ 2x+5>0\)

 

より

 

\(x>-2\ ,\ x>-\frac{5}{2}\)

 

これはまとめておきましょう。どちらにも入っている範囲は

 

\(x>-2\)

 

ですね。これが真数条件になります。

 

次は対数にする作業です。少し絵面が違うので困惑するかもしれませんが、まずは数字を対数にします。

 

\(\log_{2}{(x+2)}+\log_{2}{8}=\log_{2}{(2x+5)}\)

 

やり方はもう大丈夫だと思いますので一気にここまできました。さて、このあとどうするかですが、左辺は対数が2つなのでこのままだと比べられません。一緒にできませんかね・・・。

できますね。対数法則があります。対数の足し算は真数の掛け算でしたので、

 

\(\log_{2}{8(x+2)}=\log_{2}{(2x+5)}\)

 

とできます。ここまでくればおんなじです。真数をみて

 

\(8(x+2)=2x+5\) 

 

あとは計算すれば

 

\(8x+16=2x+5\)

 

\(6x=-11\)

 

\(x=-\frac{11}{6}\)

 

ですね。これは真数条件に入っているでしょうか。ギリギリ大丈夫ですね。これは \(-2\) よりも大きいです。

 

Focus対数の足し算引き算で対数を一つに
 

(4)の解答

最後の問題は不等式ですので底に注意します。ですが注意する前にそもそも違いますね。

 

\(\log_{3}{(x-3)}\geqq \log_{9}{(x-1)}\)

 

こういう場合はもちろん揃えなくてはいけません。揃える方法はもう知っていますね。底の変換公式です。

 

\(\log_{a}{b}=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}\)

 

揃える時にどちらに揃えればいいか悩むところですが、基本的には「小さい方に揃える」を徹底しましょう。ですから

 

\(\log_{9}{(x-1)}=\frac{\log_{3}{(x-1)}}{\log_{3}{9}}=\frac{\log_{3}{(x-1)}}{\log_{3}{3^2}}=\frac{\log_{3}{(x-1)}}{2}\)

 

です。よって

 

\(\log_{3}{(x-3)}\geqq \frac{\log_{3}{(x-1)}}{2}\)

 

とできます。ここまできたら真数条件を確認しておきましょう。

 

\(x-3>0\ ,\ x-1>0\)

 

より

 

\(x>3\) 

 

ですね。計算を進めます。右辺に \(2\) がありますが、これはこのままではダメなので左辺に移動しましょうか。

 

\(2\log_{3}{(x-3)}\geqq \log_{3}{(x-1)}\)

 

これで比べることもできません。対数の前に数字がありますからね。どうするか。対数の性質を使えばいいですね。数字を対数にする時を思い出せば

 

\(\log_{3}{(x-3)^2}\geqq \log_{3}{(x-1)}\)

 

とできます。ここまでくれば真数で見ることができますね。底は1より大きいですから

 

\((x-3)^2\geqq x-1\)

 

です。これは二次不等式になるので解けるはずです。

 

\(x^2-6x+9\geqq x-1\)

 

\(x^2-7x+10\geqq 0\)

 

\((x-2)(x-5)\geqq 0\)

 

より

 

\(x\leqq 2\ ,\ x\geqq 5\)

 

です。あとは真数条件(\(x>3\))に入っている範囲で考えれば

 

\(x\geqq 5\)

 

が答えですね。

 

 

Focus

底の変換公式で対数の底は小さい方に揃える

 

対数の前の数字は肩に持ってくる

 

まとめ

 

対数方程式や不等式は見るべきところが多くあります。真数条件、底、不等号の向き、定数倍・・・。ですが見るべきところをしっかりとおさえれば必ず解ける形に持っていけるはずです。色々なパターンがあるように見えますがその多くはここでやった問題に近い形になるはず。解答をじっくり眺めて、そして手を動かしてみましょう。

ではまた

 

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