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順列の公式 証明と公式の意味

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

順列を理解する

順列とは何か。それは

 

並び替えの仕方

 

です。例えばこんな問題をどのように解くでしょうか。

 

5人から3人を選んで椅子に座ってもらう。この並べ方は何通りあるか。

 

闇雲に数えるのはナンセンスですね。少し考えてみます。

 

5人いるところからまず3人を選ぶところから考えればいいでしょうか。ただそれだと選び方を考えなくてはなりませんね。ちょっと面倒です。

こう考えてみましょう。

 

3つ椅子を用意しておいて、そこに3人に座ってもらうことにするのです。

 

こうすれば結局のところ5人から3人を選んで並べるのと同じですよね。例えば5人を A,B,C,D,E さんとしてその中選んで並べるのではなく、3人に椅子3つ(○○○)に

 

ACD    ,     BCD      ,     EBD    ・・・

 

などと座ってもらえば、これは5人から3人を選んで並べた「場合の数」のパターンになります。

このように考えると、椅子の一番左に座る人のパターンは

 

5通り

 

ですね。5人いますから。その隣に座れるのは今選んだ1人以外の4人なので

4通りですね。樹形図で書くと

 

 

です。またさらにその隣は

 

3通り

 

であることすぐにわかるでしょう。結局求めたい並べ方は

 

\(5\times 4\times 3\)

 

ですので

 

\(60\) 通り

 

と計算できます。つまり

 

全体からある一部を取ってきて並べる

 

という場合の数は上のような考え方で計算できてしまうのですね。これは便利です。

順列と階乗の公式

じゃあこれを公式にしてしまおうというのが順列の公式なのです。つまり椅子に並べる作業を考えれば

 

何個取り出すか=パターンの数

 

ですから

\(n\) 個の中から \(r\) 個を取り出して並べる並べ方は

 

\(n\times (n-1)\times \cdots (n-r)\)

 

となると結論できます。\(n\) からスタートして \(1\) ずつ減らしながら \(r\) 個かければいいのですね。

これを記号 \(P\) を使って

 

\(_{n}\rm{P}_{r}=n\times (n-1)\times \cdots (n-r)\)

 

と書くことにしたわけです。難しくありませんね。

例えば6個から4個を取って並び替える場合

 

\(_{6}\rm{P}_{4}=6\times 5\times 4\times 3=360\)

 

と計算できることになります。便利ですねー。選ぶ分だけ6から1ずつ減らして掛け算するだけです。

 

じゃあ選ばないで全てを並び替えるなら

 

\(_{n}\rm{P}_{n}=n\times (n-1)\times \cdots \times 2 \times 1\)

 

になりますがこれは別の記号も使われていて

 

\(_{n}\rm{P}_{n}=n!\)

 

と書きます。ビックリマークですがこれは階乗と読みます。つまり

 

\(n!=n\times (n-1)\times \cdots \times 2 \times 1\)

 

ということですね。つまり並び替える対象の個数分どんどん掛け算すればいいのです。何も考えずに計算できちゃいます。公式は内容を考えると当たり前ですかね。

ここまでの公式をまとめておきます。どうやって作られたかも必ずみてくださいね。

 

 

Focus

\(n\) 個から \(r\) 個を取り出して並べ換える場合の数は

 

\(_{n}\rm{P}_{r}=n\times (n-1)\times \cdots (n-r)\)

 

\(n\) 個全てを並べ換える場合の数は

 

\(_{n}\rm{P}_{n}=n!=n\times (n-1)\times \cdots \times 2 \times 1\)

 

で計算できる。

 

まとめ

順列の公式は非常に強力な公式です。ですがここで上げたような「状況」を必ず見て使うようにしましょう。順列に場合必ず「並べる」作業が入りますので注意して問題にあたってみてください。

ではまた

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