「高校数学の知識庫」を今より10倍活用する方法

順列の問題 一定の条件で並べる

スポンサーリンク

 


 

 

こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

順列は考え方

順列の問題はとにかく

 

どうやれば簡単に数えられるか

 

を常に考えることが重要です。公式で一発で出てくることはまずありません。「こうすれば解けそうだ」と分かった後に、並び替えることを考えるときに使います。

一つ一つの考え方をしっかりと理解して進めることが重要ですから、肝に銘じて問題を解いてくださいね。

問題

 

男子3人、女子4人が1列に並ぶとき、次のような並び方は何通りあるか。

(1) 両端が男子である

(2) 女子4人が続いて並ぶ

(3) 男子、女子が交互に並ぶ

 

ある種、順列の典型問題ですので、これを通して順列の問題の考え方を学んでください。

 

(1)の解答

まずは(1)から行きましょう。

まずこのように状況が決まるパターンですが、これは最初にその条件に当てはまるものを決めてしまうことが多いです。

すなわち今回の場合は

 

両端に男子を並べる並べ方を考える → その間の並び方を考える

 

というイメージです。まずは男子の並べ方を考えましょう。

男子は3人いますので、その中から2人選んで並べてあげなくてはなりませんね。男子をA,B,Cさんとすればイメージとして

 

A○○○○○B   、   B○○○○○C     ・・・

 

などがあります。この両端の並び方は3人の男子から2人を選んで並べれば求められるので

 

\(_{3}\rm{P}_{2}=3\cdot 2=6\)

 

と計算できます。ここで初めて公式を使って計算します

 

さて、そのそれぞれについて、間はどんな並び方でも構いません。間には5人が並びます。男子が一人混じりますが両端が男子で決まっていますので気にする必要はありませんね。

よって5人の並び替えを考えればいいので

 

\(5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120\)

 

となります。ではこの結果を最終的にどうすればいいのでしょうか。これは結論から言うと「積」を計算します。

 

なぜなら例えば

 

A○○○○○B

 

は両端に男子が来る6通りのうちの1つのパターンですが、そのパターン一個につき間の5人の並べ方は

 

120通り

 

ありますよね。先ほど計算した120通りは間の5人の並べ替え方ですから。

ところで私たちは最初に男子が両端になる並べ方は6通りあると計算しました。つまり両端が男子の1パターンで間の並べ方が120通りあるということは6通りあるので最終的に

 

\(6\times 120=720\)通り

 

あると計算できるわけです。これが積を取る理由です。

わかりやすいように樹形図でそのイメージを膨らませてもらいましょう。こんな感じですね。

 

 

わかる人には単純に思えるかもしれませんが、これを納得できればこの先の順列ライフは明るいでしょう。

なぜならこのイメージがあれば「条件をどんどんとつぶしていって順列を簡単にしていける」からです。

今の問題も男子が両端にいるという特殊な状況でしたが、それを先につぶしてその「それぞれ」について間を並べ替えるということができましたよね。

 

次の問題もこのイメージを忘れずに解いてください。

 

(2)の解答

この問題は女子4人が続いて並ぶものですね。これはやはりこの条件から考えていくのが楽です。

どうするかというと、この4人をひとまとめにしてしまうのです。

そうすれば男子3人と女子をひとまとめにした1つのグループの4人+1グループを並べ替えればいいですね。

 

男子をABCとし女子をXYZWとすれば、この (XYZW) は固定して並べると

 

AB(XYZW)C       B(XYZW)CA   ・・・

 

のように女子が4人並んだ並び方が得られます。ですからこの並べ方は

 

\(4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24\)通り

 

と計算できます。

ですがもちろんこれで終わりではないですね。この並べ方それぞれについて女子の並べ方が残っています

それはもちろん女子4人の並べ替えなので

 

\(4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24\)通り

 

と計算できますね。ですから答えは

 

\(24\times 24=576\) 通り

 

となるわけです。

 

(3)の解答

男女が交互になるというのはまた難しそうです。ですがそのパターンを考えてみると

 

女男女男女男女

 

という順番しかないですね。男子が3人で女子が4人なので必ず女子が端に来ます。

これは男子女子をそれぞれの場所に入れる並べ方を調べればよさそうです。

つまり女子はこの4つの場所に4人が並べばいいので

 

\(4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24\) 通り

 

ですね。同じように考えれば男子は

 

\(3!=3\cdot 2\cdot 1=6\) 通り

 

ですね。もちろん女子の並び方それぞれに対して男子の並び方は6通りあるわけですから、求める場合の数は

 

\(24\times 6=144\) 通り

 

ですね。

まとめ

ここでやったことはもちろんテストでもよく出てくる範囲ですが、もっと大事なことは条件を分けて「積」を計算することで順列を求めるというイメージです。これは単にやればいいのではなく、なぜ掛け算なのかを考えてみてください。ここで得たことはこの「場合の数と確率」の分野すべてで役に立ちます。

 

ではまた

スポンサーリンク
場合の数と確率
スポンサーリンク
高校数学の知識庫

コメント

タイトルとURLをコピーしました