平方完成 | 高校数学の知識庫

こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

さて、今回は平方完成について説明します。

平方完成とは何かというと、

２次関数のグラフを書くための操作

であります。機械的にできればそれでいいのですが、なんのためにやるのか、どのタイミングで？というところが大事です。それは先ほど言ったグラフを書きたいときですのでお忘れなく。

では具体的に何をするのかを実際に一緒にやってみましょう。

まず、グラフを書きたい２次関数が「普通では書けない・・・」ということを確認します。どういうことかというと、例えば $y=x^2 , y=-2x^2+3$ などは平方完成しなくても書けますよね？こんな感じです。

なのでそれ以外、すなわちこの２次関数はそのままでは書けないということを確認しましょう。結構います、なんでも平方完成しようとする人。

さて、しなくても良いものは確認したとして、いよいよ平方完成です。そもそも平方完成とは

$$y=a(x-p)^2+q$$

の形にすることを目指したものです。なんでこの形って？それは前の記事を見てもらいましょう。答えは、この形にすることによってグラフを書くための情報である頂点 $(p,q)$ がわかるからです。

では具体的な方法に移ります。例として3つやるのでこれを見たら実際に自分でやって見てくださいね。はじめにやり方だけざっくりと説明します。

まず $x^2$ の係数を見る。もし１でないのなら $x^2$ の項と $x$ の項をその数字で無理やりくくる。
$x^2$ の項と $x$ の項を $(x-p)^2-p^2$ の形にする。
くくった場合はそのくくった数字を掛けるのを忘れないようにして
$y=a(x-p)^2+q$ の形まで持っていく
頂点を求めてグラフを描く、終了

こんな感じの流れです。言葉ではわかりづらいので具体的にやります。

例１　$y=x^2+4x+3$

1 は大丈夫なので 2 に移ります。 $x^2+4x$ に注目しましょう。ここを $(x-p)^2$ の形にするにはどうしたら良いでしょうか。この時に考えて欲しいのは、逆に、 $(x-p)^2$ を展開したら $x^2+4x$ という形が出てくるためにはどうすれば良いかです。イメージできましたか？これは $(x+2)^2$ を考えれば良さそうです。なぜかって

$$(x+2)^2=x^2+4x+4$$

となるからですね。ただこれだとなんか無駄なものがついてきます。それは $+4$ 。これをどうしようか悩みます。ですがご心配はご無用。そのぶん引いとけばいいんです。要するに

$$x^2+4x=(x+2)^2-4$$

としておけば辻褄が合います。これで 2 は終了です。では最後の仕上げ。

$$y=x^2+4x+3=(x+2)^2-4+3=(x+2)^2-1$$

となって平方完成完了。残ってた $+3$ だけ忘れないように気をつけてください。頂点は $(-2,-1)$ でグラフは次のようになります。

例２　$y=-4x^2+8x+3$

これは 1 をまずはやらなくてはならないですね。 $4x^2+8x$ の部分を $4$ でくくります。

$$-4x^2+8x=-4(x^2-2x)$$

次に $4$ は置いておいて中身だけを見ます。ここで 2 を実行しましょう。前の問題でやったのでイメージは掴めたでしょうか？

$$-4(x^2-2x)=4\{(x-1)^2-1\}$$

ここで注意して欲しいのはくくった数字は全体にかけられるということです。すなわちこれは3をやると、

$$-4\{(x+1)^2-1\}=-4(x+1)^2+4$$

になるということです。これが3の注意していた部分です。あとは同じなので最終的に

$$y=-4x^2+8x+3=-4(x-1)^2+4+3=-4(x-1)^2+7$$

です。

例３　$y=3x^2-4x+6$

最後の問題です。少し難しいですが一つづつやれば大丈夫なので頑張りましょう。

まず $3$ でくくります。

$$3x^2-4x=3\left(x^2-\frac{4}{3}x\right)$$

次に中身だけいつもの形にします。さてできますか？

$$3\left(x^2-\frac{4}{3}x\right)=3\left[\left(x-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{4}{9}\right]$$

なので

$$3\left[\left(x-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{4}{9}\right]=3\left(x-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{4}{3}$$

となります。できましたか？考えることは同じです。分数でも展開したら元に戻るようにというのを意識すれば必ず見つかります。必ず自力で探してくださいね。というわけで

$$y=3x^2-4x+6=3\left(x-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{4}{3}+6=3\left(x-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{14}{3}$$

です。

これで平方完成は完璧です。文字が入ってきてもやることは同じですよ。怖がらないでください。とにかく手順をマスターして瞬時にできるようになるまで繰り返し練習してください。

次はグラフを実際に白紙に書くことを考えます。

ではまた。

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