1/6公式とは 積分で頻出の公式を使いどころを含めて解説する

 

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積分は面倒

さて、定積分を計算してみてわかったことがあるはずです。

そう、計算が面倒ですよね。3乗とか普通に出てきますし、分数が当たり前に計算結果に出てくるので正確にできているかどうかも不安になります。

ですので、ある程度わかりきっているものは公式としてしまった方がおそらく便利です。ここではおそらく一番使うことになるであろう「1/6公式」と呼ばれている積分公式を伝授します。

最初に断っておきますがこの公式は便利ですがいつでも使えるような万能な公式ではありません。必ず使用用途を確認して説明に従って要領を守って使ってくださいね。

積分公式をおさえる

まずは公式を見てみましょう。

 

\(\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta) dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)

 

この公式のすごいところは左辺と同じ形の積分が出てきた時に積分をせずに一気に値を出すことができるところです。

面倒な積分計算を飛ばすことができるので計算が非常に楽です。ですが先ほども言った通り「左辺と同じ形であれば」です。

計算としては例えば

 

\(\int_{1}^{3}(-x^2+4x-3)dx\)

 

のような積分が出てきた時、積分をする式は

 

\(\int_{1}^{3}-(x^2-4x+3)dx=-\int_{1}^{3}(x-3)(x-1)dx\)

 

と因数分解できますね。こうするとたしかに公式と同じ形なので積分範囲だけ考えればよく

 

\(=-\left(-\frac{1}{6}(3-1)^3\right)=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\)

 

と答えが出てくるのです。簡単ですよね。

しかしこんな特殊な場面なんて実際の計算でありうるのでしょうか。私たちは積分を使う時は大抵面積の問題を解く時に使いますがその場面を想定して実際の使いどころをみてみましょう。

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1/6公式はどんな場面で使えるのか

さて、公式を見ればわかる通りまず重要なのは

 

積分する式が因数分解できること

 

です。そしてさらに

 

因数分解した後の値と積分範囲が一致していなくてはならない

 

のです。かなり厳しいように見えますがそんなことありえるのでしょうか。

 

実はこの状況の１つはおそらく定積分を学び始めの時にやった問題で起こっています。それはこんな形です。

 

 

二次関数があってそれとx軸が囲む部分の面積です。これはやりましたね。積分をするときにはまず \(x\) 軸と二次関数の交点が必要ですから、二次関数は \(y=-x^2+4x-3\) より

 

\(-x^2+4x-3=0\)

 

を解いて

 

\(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0\)

 

から

 

\(x=1\ ,\ 3\)

 

でわかります。あとは積分するだけですから

 

\(\int_{1}^{3}(-x^2+4x-3)dx=\left[-\frac{1}{3}+2x^2-3x\right]_{1}^{3}=\frac{4}{3}\)

 

ですね。これをみて「あれ？」と思いませんか。

今回の場合「積分する関数は絶対因数分解できます」よね。だって

 

\(-x^2+4x-3=0\)

 

が解けたんですから。そして必ず因数分解で出てくるのは積分範囲に出てくる数字です。だって積分範囲は「因数分解した式 \(=0\) 」で置いた式から出したのですからね。

つまり

 

\(\int_{1}^{3}(-x^2+4x-3)dx=-\int_{1}^{3}(x^2-4x+3)dx-\int_{1}^{3}(x-1)(x-3)dx\)

 

と確実に変形できることがわかります。マイナスには注意してください。これはまさしく1/6公式が使える形です。

つまり

 

二次関数とx軸が囲む面積は必ず1/6公式を使える形になる

 

のです。なぜなら交点を出す式が必ず積分をする関数とほぼ同じになるからですね。

ほぼといったのはプラスマイナスが基本的には逆になるからです。マイナスで括ることで始めて因数分解できる形になりましたよね。

使いどきがわかったのですがこれだけでは応用が利かないですね。ですが今の話を応用すればあと2つのパターンでこの公式が使えることを理解できます。

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直線と曲線の間の面積も1/6公式で

実は直線と曲線の間の面積も1/6公式が必ず使えます。

例えば二次関数を \(y=ax^2+bx+c\) 、直線を \(y=px+q\) とした時、図でいうと

 

 

この間の面積のことですね。もちろんこの面積を求めるためには交点の \(x\) 座標が必要です。

ですからまず、直線と曲線の交点を求めますが、そのときには必ず2次方程式を解きますね。

 

\(ax^2+bx+c=px+q\)

 

この答えが例えば \(x=\alpha\ ,\beta\) だったとしましょう。つまり

 

 

ということです。次に面積を求めるために積分しますが、面積の上の部分から下の部分を引いた式を積分するのでした。

 

\(\int_{\alpha}^{\beta}\left\{(px+q)-(ax^2+bx+c)\right\}dx\)

 

この積分の中身はまさしく交点を求める時に出てくる式ですから必ず

 

\((x-\alpha)(x-\beta)\)

 

と因数分解ができるのです。プラスマイナスは今考えていませんので注意です。

ちょっと抽象的すぎるので具体的に式を追ってみましょう。

 

次の2つの式で囲まれる図形の面積を求めることとします。

 

\(y=-3x^2+4x+9\)

\(y=x+3\)

 

これはグラフを書くとこんな感じです。

 

 

この面積を求めるためにはまず2つのグラフの交点を求める必要があるので

 

\(-3x^2+4x+9=x+3\)

 

を解きます。これは

 

\(-3x^2+3x+6=0\)

 

\(x^2-x-2=0\)

 

より因数分解すれば

 

\((x+1)(x-2)=0\)

 

なので交点は

 

\(x=-1\ ,\ 2\)

 

です。

 

 

実際の積分は面積の上にあるグラフから下にあるグラフを引いて積分すればいいので

 

\(\int_{-1}^{2}\left\{(-3x^2+4x+9)-(x+3)\right\}dx\)

 

ですね。そしてこの積分の中の式は明らかに因数分解ができます。なぜなら

 

\((-3x^2+4x+9)-(x+3)=-3x^2+4x+9-x-3=-3x^2+3x+6=-3(x^2-x-2)\)

 

と、先ほど解いた二次方程式と同じ形になるからです。これは当たり前なのです。だって同じ式を変形しているだけですからね。よって

 

\(\int_{-1}^{2}\left\{(-3x^2+4x+9)-(x+3)\right\}dx=-3\int_{-1}^{2}(x^2-x-2)dx\)

 

より

 

\(-3\int_{-1}^{2}(x+1)(x-2)dx\)

 

ですね。これはまさしく1／6公式の形です。結局答えは

 

\(-3\cdot\left(-\frac{1}{6}(2-(-1))^3\right)=\frac{27}{2}\)

 

かなり計算が楽になると思いませんか。

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曲線と曲線で囲まれた部分の面積にも使える？

今までの話が理解できれば曲線と曲線の囲む部分の面積も求められそうですね。状況は全く同じですから。

具体的に１つやってみましょう。

2つの二次関数

 

\(y=x^2-3x+3\)

\(y=-x^2+5x-3\)

 

を考え、それらに囲まれた部分の面積を求めることにします。グラフは

 

 

こんな感じ。やることは決まっていますね。まず2つの曲線の交点を求めるので

 

\(x^2-3x+3=-x^2+5x-3\)

 

を解きます。これは

 

\(2x^2-8x+6=0\)

\(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0\)

 

より交点の \(x\) 座標は

 

\(x=1\ ,\ 3\)

 

ですね。

 

 

積分は

 

\(\int_{1}^{3}\left\{(-x^2+5x+3)-(-x^2+5x-3)\right\}dx\)

 

となります。ここで積分する式を見るとやはり先ほど交点を求めた式と同じ形にできそうです。つまり

 

\((-x^2+5x+3)-(-x^2+5x-3)=2x^2-8x+6=2(x^2-4x+3)\)

 

なのでたしかに

 

\(2\int_{1}^{3}(x^2-4x+3)dx=2\int_{1}^{3}(x-1)(x-3)dx\)

 

ですね。これで1/6公式が使える形であることがわかりました。最終的に面積は

 

\(2\cdot\left(-\frac{1}{6}(3-1)^3\right)=2\cdot\frac{8}{6}=\frac{8}{3}\)

 

ですね。イメージがつかめてきましたか？

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公式を使うときの注意

ここまで読んでくださったみなさんはもうわかっていると思いますが、1/6公式は

 

積分範囲が2つの式の交点

 

の場合しか使えません。例えば

 

 

なんて時は使えないので注意してくださいね。このような図になる場合は明らかに積分をする式を因数分解しても積分範囲が出てきませんよね。

まとめ

1/6公式をこれでもかというぐらい説明してみました。これからの問題はどちらかというと「この公式を使える形から面積を考える」ことになると思いますので頭に入れておくことをオススメします。使いこなせれば積分の範囲はバッチリです。

ではまた。