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合成関数とは その意味と性質を徹底解説 逆関数との関係も

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合成関数とは?二つの関数を組み合わせる

私たちはこれまで色々な関数を見てきました。基本的な形を覚えた後は、それらの平行移動などを通してグラフを考えてきました。

私たちは関数を見た時にそのままどんな関数かを考えてきましたが、ここでは少し見方を変えて、関数は「組み合わせて」できていることを確認したいと思います。

例えば

 

\(y=2^{x+3}\)

 

という関数を見た時に私たちは「指数関数だ」とすぐにわかりますが、実はこの関数はこんな風に考えることもできます。

 

\(y=2^{x+3}\) は \(f(x)=2^{x}\) と \(g(x)=x+3\) を組み合わせた関数

 

つまり

 

\(y=2^{x+3}=2^{(g(x))}\) であり、2つの関数が組み合わさってできている

 

ということです。もっと言えばこう考えることができますよね。

 

\(y=2^{x+3}= 2^{g(x)}=f(g(x))\)

 

何やら複雑になった気がしますがそうでもありません。単純に \(f(x)=2^{x}\) という関数の変数 \(x\) に \(g(x)\) が代入されていると考えているだけですね。

例えばこんな関数

 

\(y=(x+2)^{2}\)

 

 

\(f(x)=x^{2}\) と \(g(x)=x+2\) という二つの関数の組み合わせ \(y=f(g(x))\)

 

と考えることもできます。このように2つの関数を組み合わせてできている関数のことを

 

合成関数

 

と言います。ですから大体の関数は合成関数であることがわかるでしょう。

 

さて、せっかく合成関数という新しい言葉を考えたので、記号としても新しいものを導入しておきましょう。

今回のように \(f(x)\) の変数に \(g(x)\) が入ってできた関数 \(f(g(x))\) を

 

 

 

\(f(g(x))=(f\circ g)(x)\)

 

 

 

と書くことにします。小さい丸 (\(\circ\)) を使って合成関数であることを示し、\(f\) の中に \(g\) が入っていることを示しています。

もちろん

 

\(g(f(x))=g\circ f(x)\)

 

という合成関数を考えることもできます。「入れる」「入れられる」の立場が変わっただけです。

 

例えば

\(f(x)=2^{x}\) 、\(g(x)=x+3\) の時

 

\((f\circ g)(x) = f(g(x))=2^{(g(x))}=2^{x+3}\)

 

で、

 

\((g\circ f)(x) = g(f(x))=2^{x}+3\)

 

となりますね。一般的に \(f\circ g(x)\) と \(g\circ f(x)\) は異なる関数になります。まあ逆に同じになるほうが少ないでしょうかね。

基本の関数以外は全て合成関数!

というわけですでにお分かりかと思いますが、私たちが学んだ基本的な関数以外は全て合成関数でありますね。

基本的な関数というのは例えば

 

\(y=x\)、 \(y=x^{2}\)、\(y=x^{3}\) ・・・のような \(x^{n}\) の関数

\(y=\sin{x}\)、\(y=\cos{x}\) 、\(y=\tan{x}\) という三角関数

\(y=a^{x}\)、\(y=\log_{a}{x}\) という指数・対数関数(\(a>0\))

\(y=\sqrt{x}\)、\(y=\frac{1}{x}\) という無理関数・分数関数

 

といった「変数が \(x\) だけ」になっているもののことです。それ以外のものは全て合成関数ですね。

例えば

 

例題\(y=\sin{2x}\) を2つの関数の合成関数として表せ

 

もちろん \(f(x)=\sin{x}\) \(g(x)=2x\) と考えれば

 

\(\sin{2x}=f(g(x))=(f\circ g)(x)\)

 

とできますね。難しいことはありません。

また合成関数を作ることも簡単です。

 

例題\(f(x)=x^{3}\)、\(g(x)=\log_{2}{x+1}\) について次の合成関数を求めよ。
(1) \((f\circ g)(x)\)
(2) \((g\circ f)(x)\)

 

定義を考えればすぐにできますね。

 

\((f\circ g)(x)=f(g(x))=x^{(\log_{2}{x+1})}\)

\((g\circ f)(x)=g(f(x))=\log_{2}{x^{3}+1}\)

 

となります。合成関数って意外と簡単ですよね。

合成関数と逆関数

さて、合成関数を作ると面白いことになることがあります

それは

 

 

\(f(x)\) と \(g(x)\) が 逆関数の関係にある時、 \((f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)=x\) となる

 

 

という性質です。逆関数の関係にある関数たちの合成関数は必ず \(x\) になってしまうのです。

 

例えば \(f(x)=3^{x}\) と \(g(x)=\log_{3}{x}\) は逆関数の関係にありますが、これの合成関数を考えるとどちらにしても

 

\((f\circ g)(x)=3^{\log_{3}{x}}=x\)

\((g\circ f)(x)=\log_{3}{3^{x}}=x\log_{3}{3}=x\)

 

で確かにそうなっています。

 

もちろん \(f(x)=x^2\)、 \(g(x)=\sqrt{x}\) の場合も逆関数の関係ですが、

 

\((f\circ g)(x)=(\sqrt{x})^{2}=x\)

\((g\circ f)(x)=\sqrt{x^{2}}=x\)

 

となります。合成関数と逆関数にはこのような性質があることも覚えておくと良いでしょう。

合成関数は微分と積分で大活躍?!

さて、ここまで合成関数を考えてきましたが、一体何に使うというのでしょう。

実はこれは「微分」「積分」でびっくりするほど使います。

使うというよりはむしろ「合成関数かどうかで追加で行う処理が変わる」といったほうが良いでしょう。

その関数が合成関数かどうかを判断できることが大変重要ですのでここでしっかりとおさえておきましょう。

まとめ

合成関数は数学Ⅲの微分・積分で大変重要な概念となります。できるようになっておくことは「その関数が合成関数かどうかを判断できるかどうか」それだけで良いと思います。もう少しで微分・積分です。頑張りましょう!

ではまた。

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