まずは微分係数
数学Ⅱでも学んだ微分係数。ここでもう一回しっかりと定義しておきましょう。
関数 \(f(x)\) があり、極限値 \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) が存在するとき、 \(f(x)\) は \(x=a\) で微分可能であるという。
また、
この値を\(f(x)\) の \(x=a\) における微分係数または変化率といい、\(f’(a)\) で表す。
また、
\(a+h=x\) とおくと、 \(h=x-a\) であり、\(\displaystyle \lim_{h\to 0}\) は \(\displaystyle \lim_{x\to a}\) と書き変えることができるので、
\(\displaystyle f’(a)= \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
となる。
長々と書いてしまいましたが、最初の一式目を図示すると
こんな感じでしたね。関数上のある二点を結ぶ直線を考えた時の傾きが
\(\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
です。この状態で片方の点をもう片方の点に限りなく近づけた時の、値が
\(f’(a)\)
であり、\(x=a\) における微分係数でした。
ですから、微分係数 \(f’(a)\) は
関数 \(y=f(x)\) 上の点 \((a,f(a))\) における接線の傾き
であるのでした。ですから微分係数は接線の傾きなのでしたね。
さらに、もし関数上のどんな点でも微分できるなら、\(x=a\) だけでなく、どんな \(x\) でも微分できるということです。これが導関数 \(f’(x)\) ですね。
導関数を求めること、これが微分です。
微分をすれば、ある \(x\) での接線の傾きが全て求められるのでとても便利です。つまり私たちが \(x\) を指定すれば、その点での接線の傾きが求められるというわけです。正直なところこれが微分の全てです。この事実を使ってこれからいろんなことを考えていくのですね。
まあ、とりあえず微分をすれば接線の傾きを求められると抑えておけば問題ありません。ですが、一回はこの微分の定義に戻ってきて、微分って結局なんだっけ？と立ち戻ることをおすすめします。
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微分可能と連続性
さて、この微分係数の式を使うと、簡単に以下のことがわかります。
関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で微分可能ならば、\(x=a\) で連続である
連続という言葉が出てきましたね。これは極限のところでやりました。忘れている方はこちらで確認すると良いでしょう。
簡単に言えば「関数が途切れないで繋がっている」と考えればいいでしょう。つまり関数の中で微分ができるところは連続なんですね。
そして重要なことはこの逆は必ずしも成り立ちません。つまり「連続」であってもその点で「微分可能」かどうかはわからないのです。
例えば
\(f(x)=|x|\) という関数は
こんなグラフですね。この関数は \(x=0\) で連続です。なぜなら
\(\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=0\)
で
\(f(0)=0\)
ですからね。極限値と関数値が一致しているので連続です。ですが、先ほどの微分係数の式に当てはめると、
\(\displaystyle f’(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|h|-0}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|h|}{h}\)
ですね。ここで、この極限は右側極限と左側極限を考える必要があります。絶対値がついているので、先ほどのグラフを見ればわかりますが、\(|h|\) が \(h\) か \(-h\) になりますね。
\(\displaystyle \lim_{h\to +0}\frac{|h|}{h}= \lim_{h\to +0}\frac{h}{h}=1\)
\(\displaystyle \lim_{h\to -0}\frac{|h|}{h}= \lim_{h\to +0}\frac{-h}{h}=-1\)
なので両極限で値が異なります。値が異なるということは極限値はなしです。
つまりこの関数は \(x=0\) で微分できません。微分係数がないという結果になりましたので。
というわけで、
「連続」であってもその点で「微分可能」かどうかはわからない
ということをわかっていただけたでしょうか。ですから大事なのは
関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で微分可能ならば、\(x=a\) で連続である
ということです。覚えておくと便利ですよ。
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微分可能と連続性の証明
では最後に先ほどの
関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で微分可能ならば、\(x=a\) で連続である
という命題を証明しましょう。微分係数の式からすぐできますのでやってみましょう。
\(x\neq 0\) の時
\(\displaystyle f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot x-a\)
はいつでも成り立ちます。これは後々使うのでただ確認しているだけですのでご安心を。ここで、先ほど関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で微分可能ならば
\(\displaystyle f’(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
でしたね。これは定義です。ここで先ほどの仮定を使いました。
また、
\(\displaystyle \lim_{x\to a}(x-a)=0\)
であることは当然ですね。ですから、
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)-f(a)= \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot x-a=f’(a)\cdot 0\)
にできますね。つまり
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)-f(a)=0\)
より、 \(f(a)\) は定数なので移項すれば
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)
これはまさしく連続であることの式そのものです。極限と関数値が一致していますからね。
というわけで
関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で微分可能ならば、\(x=a\) で連続である
を証明できました。
まとめ
微分係数や微分可能と連続性は基本問題で扱われることはあまりありません。でも二次試験などでは定義に立ち戻ったり、連続性の命題を使った問題が出てきたりします。
微分に慣れてきたら一度ここに戻ってきて定義から確認して再度理解を深めるようにしてみましょう。
ではまた。
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