導関数のいろいろ・計算練習

 

---

 

 

導関数を計算してみる

ここでは、いろいろな導関数を計算して、微分に慣れることを目標にしています。

数学Ⅱの範囲の微分はとにかく

和や差にしてから微分

です。微分のルールとして、次の楽な方法がありました。それは

$$f(x)=x^n \to f'(x)=nx^{n-1}$$

です。さらに微分には和や差であれば、それぞれの項を微分してよいので上のルールがどんどん使えるわけです。とにかく和・差に直すことを徹底してください。

例えば

$$y=(x+1)(x^2-3)$$

を微分してみましょう。ちなみに微分の記号は”‘（プライム）”をつければいいのでこの場合\(y’=・・・\)のように書いていきます。まずは展開します。

$$y=(x+1)(x^2-3)=x^3+x^2-3x-3$$

ですから、微分すると\((x^3)’=3x^2\)という風にすれば

$$y’=3x^2+2x-3$$

となります。簡単ですね。

次はこれ。

$$y=(2x+1)^3$$

３乗の展開公式を覚えていますか？忘れていればここで思い出しておきましょう。

$$(x+y)^3=x^3+3x^2y*3xy^2*y^3$$

でしたね。これを使ってやはり展開します。

$$y=(2x+1)^3=8x^3+12x^2+6x+1$$

ですから、微分すると

$$y’=8\cdot 3x^2+12\cdot 2x+6=24x^2+24x+6$$

となります。もともとついている係数との掛け算を忘れずに。

お次はこれ。

$$y=(x^2-2x+3)^2$$

３つの項の展開ですね。これも覚えているでしょうか。わからなかったら作れるように。覚えてしまうのも手です。

$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$$

でしたので、問題も展開して

$$y=(x^2-2x+3)^2=x^4+4x^2+9-4x^3-12x+6x^2=x^4-4x^3+10x^2-12x+9$$

なので、微分すると

$$y’=4x^3-12x^2+20x-12$$

で終了です。難しくありませんね。とにかく問題が出てきたら展開して微分です。

いったん広告の時間です。

終わりに

今回は短いですがここまでです。数学Ⅱの微分は微分が難しいわけではなく、それを使って問題を解く方が重要になってきます。ですがまずは微分ができないと話が始まらないので、機械的にできるようにしっかりと練習を積むことが微分をできるようにする第一歩です。

ではまた。