増減表を使ってグラフを書く（練習編）

こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

Contents

増減表を使っていろいろなグラフを書いてみる

１．$y=-\frac{1}{3}x^3+x^2+x+3$

まずは微分ですね。

$$y’=x^2+2x+1$$

この導関数が０になる$x$の値を探します。

$$y’=x^2+2x+1=(x+1)^2=0$$

なので

$$x=-1$$

です。一つだけになりましたね。このようなパターンもあります。しかしやることは変わりません。増減表を書きます。

少し不思議なところは

$x$がどんな数字であれ、導関数の値はプラスである

というところです。確かに$y’=(x+1)^2$ですから、どんな数字を入れてもプラスになってしまいます。

というわけでこのようなタイプは極値が一つになります。グラフはこんな感じです。

グラフはずっと上がりっぱなしですから、書くと一瞬平らになるところができます。変な感じがしますが、これも３次関数のグラフです。

次は４次関数です。

２．$y=3x^4-16x^3+18x^2+5$

４次関数ともなると少し怖い気がしますが、やることは変わりません。まずは微分です。

$$y’=12x^3-48x^2+36x$$

０になる$x$を探します。

$$y’=12x^3-48x^2+36x=12x(x^2-4x+3)=12x(x-1)(x-3)=0$$

とできますのでわかりそうです。３次方程式だったので複雑になるかと思いきや、今回は楽なタイプでした。

というわけで解くと

$$x=0\ ,\ 1\ ,\ 3$$

ですね。増減表も変わらず書きましょう。書くところが多くて少し大変ですが頑張りましょう。

３次関数とは違い、３つ入れ替わりポイントがあります。これをグラフに書くとこんな感じですね。

見てわかる通り、３次関数よりも一つ転換点が増えています。この調子でいくと５次関数は一般的に入れ替わりのポイントが４つ出てきそうなことも予想がつきます。

４次関数もなんらやることは変わらなかったですね。めでたしです。

３．$y=x^4-8x^3+18x^2-11$

これで最後です。これも４次関数ですが、先ほどと変化があるところがポイントです。やることはいつでも変わりません。微分しましょう。

$$y’=4x^3-24x^2+36x=4x(x^2-6x+9)=4x(x-3)^2$$

ですね。ということは$y’=0$になる$x$は

$$x=0\ ,\ 3$$

となります。なので増減表は次のようになります。

大事なことは$x$が３より大きいところでは$y’$がプラスになるところです。要するにここは極値にならず、一瞬傾きがなくなってまた増加するグラフになります。

もちろん$y$の値に関しては元の関数に０、３を代入した値です。

というわけでグラフを書けそうです。書いてみるとこのようになります。

普通の４次関数とは違ったグラフになりましたね。グラフは書いてみないとその特徴がわからないので、しっかり書いて視覚的に確認しましょう。

グラフを書く練習は欠かせません。ここでは３パターンしかやりませんでしたが、必ず自分自身で問題を解き、グラフを書くところまでやってください。グラフが書けないと次に進めないといっても過言ではありませんので。

ではまた。