円の方程式は当たり前の式？
直線をしっかりと考えた後はやはり円を式で書けるようになりたいところです。図形と方程式の元々のモチベーションは座標を用いて図形を表すことでしたから。
円と聞くと曲線ですから難しく思えるかもしれませんがそんなことはありません。私たちはもう円の方程式を出せる状態になっているのですから。
何を使うかというと
点と点の距離の公式
です。
もっと言えば
原点と点の距離の公式
です。
なぜか。ではそもそも円とはなんでしょうか。うまく説明できますか？
「円は円だよ！」と言いたくなる気持ちもわかりますが、ここは数学を学ぶ場です。数学では対象としているものを式でかけて初めて使えるようになります。
こう考えるにはどうですか。図形は点の集まりですから、もちろん円も点の集まりです。どんな点の集まりかというと
ある点から等距離にある点を集めた図形
です。コンパスで円を書くときを思い出してみるとわかるでしょう。コンパスはある点を軸として同じ距離にあるところに線を引きます。
これと同じことを座標でやればいいのです。ある点から等距離にある点を集めた式、すなわちある点から等距離にある \(x,y\) の組 \((x,y)\) を探せばいいわけです。実はそれは簡単です。
説明しましょう。原点からある点 A\((x,y)\) までの距離は座標を用いて
\(OA=\sqrt{x^2+y^2}\)
とかけますよね。これがある一定値 \(r\) だったらこの式を満たす点 \(x,y\) の組は半径 \(r\) の円上にあります。
具体的にやります。例えば原点からルート2の距離にある点はどんな式になりますか？
\(\sqrt{2}=\sqrt{x^2+y^2}\)
こうなるはずです。点 \((x,y)\) はこの式があれば原点から\(\sqrt{2}\) の距離にあることがわかります。
原点からある点までの距離はある点を \((x,y)\) とすれば \(\sqrt{x^2+y^2}\) と書けます。それが今は \(\sqrt{2}\) だと言っているのですから上の式を皆さんも作れるはずです。
ここまで考えれば自明でしょう。この \(x,y\) の組は原点を中心にした \(\sqrt{2}\) の円の上にあります。すなわちこの式
\(\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2}\)
は原点を中心とした半径 \(\sqrt{2}\) の円を表していることに他ならないのです。
ここからわかることは
原点を中心として半径が \(r\) の円の方程式は
\(\sqrt{x^2+y^2}=r\)
である
ということです。教科書には両辺を２乗した
\(x^2+y^2=r^2\)
が書かれているでしょう。この式が出てきたときに、この方程式は中心が原点の半径が \(r\) の円を示しているということをわかれば完璧です。
ここまで見てきた通り円の式はただ円の性質を式にしたに過ぎないのです。少し敷居が下がりましたでしょうか。
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円の方程式を平行移動して一般的に
さて、ここまで考えた円の方程式は原点を中心にしたものでした。ですが普通はそうそう原点が中心じゃありませんし、原点中心の円だけ考えても応用の幅が狭いです。
ですので適当な点が中心の円の方程式を考えるべきです。原点では無く別の点が中心だとどうすればいいのでしょうか。
こういう時に役に立つのが平行移動の概念です。忘れている人はこちらを参照ください。
平行移動は図形全体を \(x\) 軸方向、 \(y\) 軸方向に移動してくれるのでした。これを使えば原点が違っても式を書けそうです。
やることは単純。例えば中心を \((a,b)\) にしたければ円全体を \(x\) 軸方向に \(a\) 、 \(y\) 軸方向に \(b\) だけ平行移動すれば良いです。
半径を \(r\) とすると円の式は
\(x^2+y^2=r^2\)
でしたので \(x\) 軸方向に \(a\) 、\(y\) 軸方向に \(b\) だけ平行移動すると
\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
となりますね。 \(x\) を \(x-a\) 、\(y\) を \(y-b\) に変えればよかったのでした。
実際に図示すると次のようになります。
式と図形をマッチさせてください。式だけ覚えても問題にはあまり使えません。イメージをつけてください。
これで中心が原点ではない場合も円の方程式を立てることが可能になりました。
まとめると
中心が \((a,b)\) 、半径 \(r\) の円の方程式は
\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
特に中心が原点の時は
\(x^2+y^2=r^2\)
です。
まとめ
今回は円の方程式を距離の公式から導出し、平行移動の概念を使って一般的な円の方程式を考えました。やってることの中で新しいことは何一つありません。理解できなかったところがあっても復習すれば必ず理解できるはずです。努力は裏切りません。
ではまた
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