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点と点の間の距離を座標で表すと?

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

座標平面上で距離を考える

図形と方程式という分野の中では図形全てを座標平面で表すことを目標にしています。ですので長さも座標を使ってかけるようにならなければなりません

ここでは2つの点が与えられた時にその間の距離

 

 

を求める方法を考えていきます。

難しそうに見えますが実は三平方の定理で解決できてしまいますので心配なく。

 

では考えていきましょう。二つの点を考え、その点の座標を \(A(x_{1},y_{1})\)、\((x_{2},y_{2})\) とおきます。図で言うとこんな感じ。

 

 

この2つの点の距離というのは俗に言う長さであるので最短距離で結んだ時にできる線分の長さです。

 

 

これを座標だけで表すことは可能でしょうか。

 

できます。答えは簡単です。三平方の定理を考えれば良いのです。

 

 

この2つの辺さえわかれば三平方の定理から線分の長さがわかります。

もちろんこの2辺は座標で表せます。こんな風に。

 

 

これで2点間の距離を出せます。三平方の定理より

 

$$AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}$$

 

となります。よく考えてみるとなんてことない公式ですよね。成り立ちを知ると公式はそんなにすごいことを言っていないものです。

これを知っていれば原点からある点までの距離も簡単に出せます。

原点は言ってしまえば座標が \((0,0)\) ですからある点 \((a,b)\) までの距離は

 

 

$$OA=\sqrt{a^2+b^2}$$

 

ですね。これで座標平面上で長さを求めることができるようになりました。

まとめ

点間の距離を求めることは、後々図形の長さを求めることにつながります。ただ、これを多用することはあまりないかもしれません。この式を使って新しい公式を求めることがこれからは大事になってきます。

基礎の中の基礎ですが一番下の土台になりところです。しっかりとおさえてくださいね。

ではまた

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