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角度の拡張 360度より大きい角度をどう考える? 動径を理解する

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

三角関数に入る前に

三角関数をしっかりと始める前に三角比についておさらいしておきましょう。

三角比とは次のように定義されていましたね。

 

$$\sin\theta =\frac{a}{b}$$

$$\cos\theta =\frac{c}{b}$$

$$\tan\theta =\frac{a}{c}$$

 

直角三角形から三角比はスタートしました。直角三角形を書くとある角度に対する辺の比は決まります。それを記号にしたものが三角比でした。

ですがこの三角比の定義だと90度までしか三角比を考えられない問題が発生します。それを解決したのが単位円という考え方です。

詳しくは

 

三角比の拡張と単位円
  こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。   三角比を直角より大きい角度で求められるか 三角比はもちろん「直角三角形」で定義されました。なので三角比を考えられる角度の限界...

 

に書いていますので詳細は省きますが、単位円上の点を考えて、その点の \(x\) 座標、 \(y\) 座標がそれぞれ \(x\) 軸からの角度のコサイン、サインと考えることができます

 

 

これを使えば実質上どんな角度でも三角比を考えることができます。でも待ってください。私達は180度までしか角度を測ることはできませんね。

なんとなく

 

 

なんてものを考えれば三角比自体は考えられそうですが、どんな角度に対する三角比なのかが定かではありません。ですのでここではまず、180度より大きい角度をしっかりと定義することにしましょう。

動径の考え方に慣れる

私達は日常的に360度まで角度を考えています。360度の景色とか、人間は120度の視野を持っているとか色々な場面で角度は登場しますね。ですが例えば420度なんて角度を考えることは可能でしょうか?

正直なところ日常的な感覚だと想像はできませんが数学では角度をこう考えることにします。

 

 

要するに基準の線を一つ決め、そこからどれだけの角度を進んだかをもう一つの線で決めるのです。この時角度の方向は反時計回りをプラスにします。なぜかはこのあとわかるはずです。この方法で書くと例えば235度は

 

 

となります。

ひとまずこのように角度を決めると角度というものがかなり便利になります。

なぜかというと先ほど例に出した420度という角度は

 

 

と考えることができるからです。360度した後にもう60度回ることを言っているのですね。

そうです。数学的には420度と60度は場所が同じになるのですね。(←実はこれ三角関数においてものすごく大事なことです。)

これで360度よりも大きい角度を簡単に考えることができるようになりました。少し例を見せるので自分で考えて合ってるかどうか確認してみてください。

 

 

 

 

大丈夫ですね?さらにこの定義を使えばマイナスの角度も定義することができます。

すなわち数学で

 

30\(^{\circ}\) 

 

と言ったときには

 

 

と考えることにするのです。そう、先ほどと逆回りですね。反時計回りがプラス、時計回りをマイナスの角度として考えるのです。これに従うと例えば-150度は

 

 

ですね。

これで角度に何をつけられても私達は頭の中でイメージできるようになりました。この拡張は三角関数では必須なのでしっかりマスターしてください。

まとめ

ここでは三角関数の前段階として角度に拡張を行いました。角度は三角関数において最重要な事項なのでまずはしっかりと考え方に慣れ、使いこなせるようにしておくことが重要です。

ではまた

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