展開の公式の導出と覚え方

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展開の公式

展開の公式は中学の時点でやっていますが、ここでもう一度導出と確認をしておきましょう。

今後は何も言われずとも当たり前に使えなければならないのでここで押さえてしまいましょう。

展開は基本的に分配法則ができれば公式は簡単に確認できます。

まずは2乗の公式です。

$$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$$

$$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$$

 

これはもちろん

$$(x+y)^2=(x+y)(x+y)=x^2+xy+xy+y^2=x^2+2xy+y^2$$

と計算すれば出てきます。公式のポイントは真ん中の積を考えるときは2倍しなければならないということでしょうか。マイナスの場合も同様に証明できます。

どんどん行きます。お次は3乗の公式です。

 

$$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$$

$$(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$$

 

これは先ほどの2乗の公式を知っていれば次のように確認できます。

マイナスのほうは\(y\)が\(-y\)に代わっていると考えると、プラスのほうの公式で、\(y\)と\(y^3\)のところがマイナスになっていればいいのですね。そう考えれば3乗の公式は一つ覚えれば十分です。

お次はこんな形の公式です。

$$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$$
 

これはもちろん次のように確認できます。

これの覚え方は、「足して・かけて」です。足したものを真ん中に、かけたものが後ろに来ます。

また、これは覚えておくと計算を省略できて便利です。

$$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$$
 
これの証明は展開すれば一発なので省きます。覚え方は2乗引く2乗です。
 

終わりに

今回は少なめですがここまで。展開の公式は今後当たり前のように使いますので、出てきたらサクッと計算できるようにしていきましょう。高校数学の出発点です。頑張りましょう!!

ではまた。

 

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