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対称式の考え方とコツ

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

対称式とは

対称式とは何かというと、

考えている数式の文字を入れ替えても式が変化しないもの

です。一番簡単な対称式は変数\(x\)、\(y\) を用いた

$$x+y$$

$$xy$$

です。確かにこの2つの式は変数\(x\)、\(y\) を入れ替えても式は変化しませんね。

高校数学で出てくる対称式は上にあげたものがほとんどです。これを2変数の基本対称式と呼びます。ここでは基本的な対称式の取り扱いとその重要な考え方について説明していきます。

扱う問題は標準程度の問題でとどめておくつもりです。

対称式の問題とは

ここまでの話だけで何か問題のイメージができている人は、やったことがある人か相当鋭い人です。感心します。

ほとんどの人は問題のイメージがつかないと思います(当たり前)ので、1つ問題を挙げておきます。

\(x+y=5\)、\(xy=3\)の時、次の式の値を計算せよ。

1. \(x^2+y^2\)

2. \(x^3+y^3\)

3. \(x-y\)

 

例えばこんな問題です。基本対称式の値がわかっているときに、それを使って式の値を求めさせるのです。

もちろん2つの条件式から\(x\)、\(y\)の値を出すことはしません。対称式の意味がありませんからね。

ここからはこの問題を解いていく中で、大切な考え方と解き方を説明していきます。

対称式は展開の公式を考える

さて、さっそく1の問題を考えていきます。これからの説明すべてでそうですが、展開の公式が非常に役に立ちますので、忘れている人は確認しておいてください。

1は\(x^2+y^2\)です。これはどう考えればよいでしょうか。

まず展開の公式を思い出します。その中でこの\(x^2+y^2\)が式の中に現れるものはどれでしょう。

$$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$$

これがその一つでしょう。そしてこの形を選んだのには理由があります。それは

対称式の形が入っている

からです。確かに今問題で与えられている\(x+y\)と\(xy\)が入っていますね。

ここで右辺を見てみるとほしい形である\(x^2+y^2\)のほかに邪魔な\(2xy\)があります。

どうにかしたいところですが、これはどうにかできます。なぜならこの式はいつも成り立つ式であり、方程式として見てあげてもよいからです。すなわち、\(2xy\)を移項して

$$(x+y)^2-2xy=x^2+y^2$$

としてよいのです。

そう、これが大事な式です。右辺は今欲しい値。それは左辺を計算すれば求められるという形になっています。

すなわち今回の例では

$$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5^2-2\cdot 3=25-6=19$$

と計算できてしまうのです。

なんだ、簡単じゃないかと思った人は次の問題に自分でチャレンジしてみましょう。少しわからないという人も次の問題の解説を見るとまた少し違うかもしれません。

次の2に移りましょう。次は\(x^3+y^3\)です。これはどうすればいいでしょうか。

やはり考えることは同じ。これが出てくる展開の公式などを考えるわけです。3乗が出てくるということは何かを3乗しないと出てきませんからそこから考えるのも手です。

わかりましたでしょうか。正解はこれ。

$$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$$

ここから右辺の邪魔な項を左辺に移してあげれば、

$$(x+y)^3-3x^2y-3xy^2=x^3+y^3$$

ですので整理すると、

$$x^3+y^3=(x+y)^3-3x^2y-3xy^2=(x+y)^3-3xy(x+y)$$

です。最後の式変形は対称式が出てくるように\(-3xy\)でくくりました。

というわけで答えは

$$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=5^3-3\cdot 3\cdot 5=125-45=80$$

となります。

最後の問題は少しトリッキーです。これは1の答えを使って解きます。なぜなら私たちにはこの公式があるからです。

$$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$$

この式には今欲しい\(x-y\)がありますし、ほかで出てくる式も、もう値の分かっているものです。1で\(x^2+y^2\)を計算させられたのはこのためだったのです。

というわけで

$$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=19-2\cdot 3=19-6=13$$

ここまで来たらあとは2乗を外すだけです。

$$x-y=\pm\sqrt{13}$$

できましたね。これが対称式の問題の解き方です。

終わりに

さて、ここまで対称式について触れてきましたがいかがでしたでしょうか。もしかしたら対称式の公式は覚えさせられたという人がいるかもしれませんが、最初のうちはそれでいいと思います。ですが必ず考え方を知っている・自分で作れる状態にしておいてください。今後変わった問題にあたったときに必ず役に立ちます。

ではまた。

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コメント

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