三角関数の極限と考え方

 

三角関数に極限はない？

さて、前回は指数と対数の極限について学びましたがもう一つ大事な関数がありますね。

そうです、三角関数です。

三角関数は変数が角度です。つまり三角関数において極限を取るということは

 

プラス、マイナスの角度をどんどん大きくしていくと値がどうなるか

 

を考えることと同じです。さて、これはどうでしょうか？何か決まった値に落ち着くのでしょうか？

答えは一部ノーですね。なぜなら三角関数のうち \(\sin\) と \(\cos\) は

 

 

の単位円をグルグル回る時の \(x\) 座標と \(y\) 座標がそれぞれ \(\sin\) と \(\cos\) でした。ですから角度を大きくしても小さくしてもある値に近づいていくことはありません。

グラフを書いてもそれは明らかです。久しぶりに見るかもしれませんが \(\sin\) と \(\cos\) のグラフはそれぞれ

 

 

このようになります。見てわかる通りどれだけ角度を大きくしても周期的に同じ値が繰り返すだけです。ですから \(\sin\) と \(\cos\) については角度を無限大に持っていっても極限はありません。

もちろん角度を（ \(0\) も含めて）ある値に近づければ極限値は存在します。

では三角関数では特殊な極限などというものはないのでしょうか。

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タンジェントはどうか

しかしながら三角関数の中で極限をしっかりと考える必要があるものが。それが タンジェント ですね。

\(\tan\) は \(\sin\)、 \(\cos\) と違って少し特殊です。何が特殊かというと、角度によって定義できないことがあったということ。少し思い出してみると

 

\(\displaystyle \tan\frac{\pi}{2}\)

 

などは定義できなかったはずです。なぜならタンジェントは

 

 

でいうところの直線の傾きだったので角度を \(90^{\circ}\)とか \(270^{\circ}\) とかに近づけると値が分からないほど大きくなってしまうのでした。

 

ですがそれはまさに私たちが扱える(？)ようになった無限大というやつですね。

 

つまり極限の言葉で書けば、いまの \(\displaystyle 90^{\circ}=\frac{\pi}{2}\) に近づけるとと言った言葉は

 

\(\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \tan x\)

 

と書けるわけです。つまりタンジェントは極限を考える意味があります。まあ、無限大になるってことは発散なので計算としてはあまり面白くはありませんが…

グラフで見ればさらにわかりやすいです。タンジェントのグラフは

 

 

のようになることを数学Ⅱで学びましたので、やはり

 

\(\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \tan x=\infty or -\infty\)

 

となりそうなことが頷けます。グラフのイメージと一緒に覚えてしまいましょう。

 

ただし、ひとつ非常に重要なことがあります。それはグラフを見ればわかりますが

 

近づけ方でプラス無限大かマイナス無限大かが変わる

 

ということです。これはまさに片側極限でやったことです。

例えばグラフを見れば

 

\(\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0} \tan x\)

 

 

は

 

\(\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0} \tan x=\infty\)

 

ですが、逆にプラスから近づけると

 

\(\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}+0} \tan x=-\infty\)

 

ですね。問題を解く時には十分注意してください。

というわけで長くなりましたが、三角関数の極限でまず覚えておきたいことは

 

 

まとめ

三角関数の極限はそれ単体では出てきづらいですが、グラフとの対応は非常に重要です。数学2ではあまり使わなかったと思いますのでここでしっかりと復習しておくと良いでしょう。これで基本の関数の極限はマスターできました。ただし、ここで出てきた三角関数の極限はそこまでたくさん出てくるわけではなく、この後学ぶ三角関数の最重要極限公式が今後の極限計算の方針になりますのでしっかりと学びましょう。

ではまた。