「高校数学の知識庫」を今より10倍活用する方法

数と式 ルートの入った式の計算とルートの外し方

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今回の問題はこちら。ルートが出てきてやばそうですね(笑)。

 

\(f(x)=\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}\)とする。

問1: \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)のとき \(f(x)\) の値を求めよ。

問2: \(x=\frac{2a}{a^2+1}\)(ただし, \(a>1\))のとき \(f(x)\) をできるだけ簡単な式で書け。

 

 

一応数と式の範囲なので難しいことはしませんが、今後高校数学をやっていく上で大事な見るべきポイントが入っているので紹介します。

やることは単純。問題を見てわかる通りどちらも \(x\) に値を代入してゴリゴリ計算して、答えを出すだけです。ただし、与えられた形にそのまま代入するなんてことはやめましょう。仮にも大学入試問題な訳ですから何か裏があるはずです。問題はある程度「流れ」がありますから、その流れを見つけるのも問題演習の大事なところですよ。

問1 元の式を簡単に 

さて、まず何をするかですが、式の形を見る限りこれは上と下にほぼ同じ形の式が出てきています。さらに言うとルートが出てきていてややこしいです。というか正直ルートが嫌です。なので分母を有理化します。有理化は大丈夫ですね。有理化とはルートのない形にすることです。やります。追ってくださいね。

$$f(x)=\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$$

$$=\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^2}{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} \nonumber$$

$$=\frac{1+x+1-x+2\sqrt{(1+x)(1-x)}}{1+x-(1-x)}=\frac{2+2\sqrt{1-x^2}}{2x} \nonumber$$

$$=\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}$$

ここまできました。やったことは有理化と2乗の計算、あとは \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\) です。これ以上は計算が進まなそうなのでここで代入してしまいます。入れるところは2つだけなので楽そうですね。

$$f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{1+\sqrt{1-\frac{3}{4}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1+\sqrt{\frac{1}{4}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \nonumber$$

$$=\frac{1+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$$

ものすごく細かくやりましたが大丈夫だったでしょうか。とりあえずこれで問1は終了です。

問題2 ルートを外す時の落とし穴

続けて問2に行きますが、この流れからしてやはり変形した \(f(x)\) の式に複雑そうな式を代入することになりそうです。問1の時点で変形を行なっていればスムーズに問2に進めるということですね。

早速やってみましょう。注意すべき点は文字が入っていることです。それ以外は変わらずにできる変形をしていきます。いきましょう!

$$f\left(\frac{2a}{a^2+1}\right)=\frac{1+\sqrt{1-(\frac{2a}{a^2+1})^2}}{\frac{2a}{a^2+1}}$$

$$=\frac{1+\sqrt{1-\frac{4a^2}{(a^2+1)^2}}}{\frac{2a}{a^2+1}}=\frac{1+\sqrt{\frac{a^4+2a^2+1-4a^2}{(a^2+1)^2}}}{\frac{2a}{a^2+1}} \nonumber$$

$$=\frac{1+\sqrt{\frac{a^4-2a^2+1}{(a^2+1)^2}}}{\frac{2a}{a^2+1}}=\frac{1+\sqrt{\frac{(a^2-1)^2}{(a^2+1)^2}}}{\frac{2a}{a^2+1}}\nonumber$$

ここまで来れたでしょうか。ルートの中身を見ると2乗の形になっているので外してあげたいところ・・・なのですが、簡単に外してはいけません。なぜなら「2乗の中身の正負によってルートを外した時の正負も変わっていく」からです。

例えばこんな例を考えてみます。こんな書き方をされたルートが出てきたらどうしますか?

$$\sqrt{(-4)^2} \nonumber$$

これを見て”え?簡単じゃん! \(-4\) でしょ?”と少しでも思った人は詳しくこの話を追うべきです。

答えはもちろん \(4\) です。だって

$$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4 \nonumber$$

ですから。なぜ間違うかというとそもそもルートを計算した答えはプラスにならなければいけないということを忘れてしまっているからです。ルートを外した時に負になる数なんてありません。もしあるなら、それすなわち2乗して負になる数字があることになるからです(正確には”実数の範囲ではそんな数字はない”になります、複素数を考えると2乗して負になる数字を考えることもできます)。

この間違いを無くすにはこう考えれば良いです。

 

ルートの中身がプラスの2乗で書かれているならそのまま外す

ルートの中身がマイナスの2乗で書かれているならマイナスをつけて外す

 

どっかで見たことがあると思った人は鋭いです。絶対値でも同じことをしてるんですね。これは当たり前で、ルートの計算結果はプラスですから「絶対値をつけて外す」とも言えるからです。

難しいことはさておき、ルートは上の規則にしたがって外さなければいけません。すなわち

$$\sqrt{(-4)^2}=-(-4)=4\nonumber$$

ですし、今回の問題では \(a>1\) より \(a^2-1>0\) で、当然 \(a^2+1>0\) ですからそのまま外してよく

$$\sqrt{\frac{(a^2-1)^2}{(a^2+1)^2}}=\frac{a^2-1}{a^2+1}\nonumber$$

とできるわけです。

ここまでくればあとは計算するだけですね。

$$f\left(\frac{2a}{a^2+1}\right)=\frac{1+\frac{a^2-1}{a^2+1}}{\frac{2a}{a^2+1}}=\frac{\frac{a^2+1+a^2-1}{a^2+1}}{\frac{2a}{a^2+1}}=\frac{2a^2}{2a}=a$$

とても簡単な値になりました。めでたしめでたし。

まとめ

この問題は単純ですが、記述式になるとおそらく減点をくらう人が続出の問題だと思います。変形自体は計算方法をしっかりと身につければ対処できるのでできなかった人はもう一度自分でやってみてください。大事なのはルートの外し方です。思わぬところに落とし穴があるので気をつけたいところですね。

ではまた。

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