「高校数学の知識庫」を今より10倍活用する方法

数学で使う重要な三角比とその導出

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

覚えなければいけない三角比

三角比を定義したところで次は何をしなければいけないかというと、それは

特定の角度の三角比の暗記(もしくは自分で作れるようにする)

です。今後この分野では三角比が至る所に出てきます。そしてその時に三角比の値がわかっていないと計算が進められない事態が起こりますのでここでしっかりと理解し、覚えていってください。

その前に、「特定の角度」と言っているもののこれは何のことでしょうか。

それは

三角比がもうわかっている(図を使って定義に当てはめれば簡単に出せる)

ものです。例えば前回の記事で\(\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\)などが出てきたのを覚えているでしょうか。

このように角度を指定してやるだけでその三角比が簡単に出せるものを「特定の角度」の三角比と呼んでいます。なので、これらは表式が出てきただけで値がわかってしまうのです。

高校数学の問題ではこの「特定の角度」以外の三角比をあらわに使うことはほとんどありません。なのでここで覚えてしまえばこの先は苦労しないということですね。

というわけで、前置きが長くなりましたが早速見ていきましょう。まずは前回も出てきた直角三角形を使った三角比です。

\(30^\circ\)、\(60^\circ\)、\(90^\circ\)の直角三角形における三角比

三角比は直角三角形に対して定義されるのでまずはこの\(1:2:\sqrt{3}\)の直角三角形で三角比を調べてみます。

前回も出てきましたがおさらいです。この図から\(60^\circ\)に対する三角比が得られます。こうですね。

 

$$\sin 60^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\cos 60^\circ =\frac{1}{2}$$

$$\tan 60^\circ =\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$$

 

大丈夫でしょうか。というわけでこれらは「図を描き」、「三角比を求める」ところまで必ずできるようにしてください。暗記もいいですが、保険のために自分で作れるようにしてくださいね。

この図を倒してあげると別の三角比も得られます。

左下に三角比が欲しい角度、右下に\(90^\circ\) を置くのを忘れずに。この図から\(30^\circ\)に対する三角比が得られます。

 

$$\sin 30^\circ =\frac{1}{2}$$

$$\cos 30^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\tan 30^\circ =\frac{1}{\sqrt{3}}$$

 

これも作れるようにしてくださいね。

というわけでここまで2つの角度についてそれぞれの三角比が得られました。

\(45^\circ\)、\(45^\circ\)、\(90^\circ\)の直角三角形における三角比

直角三角形でそれぞれの辺の比が決まっている三角形はもう一つあります。それはこんな直角三角形です。

俗にいう\(1:1:\sqrt{2}\)の直角三角形です。ここから\(45^\circ\)に対する三角比が計算できます。

 

 

$$\sin 45^\circ =\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$\cos 45^\circ =\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$\tan 45^\circ =1$$

 

これが重要な三角比の3つめです。直角三角形と合わせて覚えちゃってください。

その他の角度の三角比

ここからは直角三角形ではないので三角比は定義できませんが、計算上重要な三角比を与えます。これは三角関数や、単位円での三角比の拡張を考えるとわかるのですが、今の段階ではそうなんだなあと思ってもらえるといいです。

まずは\(0^\circ\)の三角比です。これは次のようになります。

 

$$\sin 0^\circ =0$$

$$\cos 0^\circ =1$$

$$\tan 0^\circ =0$$

 

次は\(90^\circ\)です。

 

 

$$\sin 90^\circ =1$$

$$\cos 90^\circ =0$$

$$\tan 90^\circ =定義できない$$

 

となります。まずはここまでです。なんでだろうとやっぱり思う人は少し考えてみてください。答えは今後知ることになるでしょう。

終わりに

今回はとても重要な三角比について説明しました。覚えるべきことがたくさんですが、次回に表にしてまとめますので有効に使ってください。規則性も少し見えてきている人は素晴らしいです。まずは覚えてすぐに言えるようにすることと、三角比を考えるときは頭の中に直角三角形のイメージを作りましょう。2段構えで覚えてくださいね。

ではまた。

 

 

 

 

 

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