三角比の相互関係とその使い方

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三角比の主な値の復習

前回は「特殊な角度」の三角比について触れました。その時に出てきた値をまとめるとこのようになります。

\(\sin\)と\(\cos\) が順番でいうと逆の関係になっているのが見えるでしょうか。覚える時には意識してみると覚えやすいかと思います。いずれにしてもこれらの三角比は否が応でも覚えなくてはならなくなるので、一度気合を入れて覚えてみてください。

三角比の相互関係

今まで特殊な角度についての三角比を上げてきましたが、もちろん全ての角度に対して三角比は計算できます。なぜなら欲しい三角比の角度をもつ直角三角形を用意して、計算すればいいのですから。

ですが、高校数学の問題ではそんなことはしません。基本的には \(sin\theta =\frac{1}{3}\) などと与えられ、角度は伏せられることが多いです。なのでここで大事なことは、

ある三角比の値がわかっている時、別の三角比を出す方法

を知ることなのです。要するに同じ角度の三角比 (\(sin\theta,\cos\theta ,\tan\theta\)) が一つ与えられただけで別の三角比が求められることが必要です。

実はそれを実現する公式が三角比にはあります。それを私たちは

三角比の相互関係

と呼んでいます。今回はこの三角比の相互関係を説明していきますよ。

3つの三角比の相互関係

最初に3つの相互関係を説明します。それは次の3つの等式です。

 

$$\sin^2\theta +\cos^2\theta =1$$

$$1+\tan^2\theta =\frac{1}{\cos^2\theta}$$

$$\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

 

一番上の式は\(\sin\)と\(\cos\) を繋ぐ公式です。どちらか片方がわかればもう片方がわかる公式です。

2つ目の式は\(\tan\) と \(\cos\) を繋ぐ式です。これもどちらかがわかればもう一つもわかる形になっています。

最後の式は三角比3つを繋ぐ公式です。\(\tan\)を出す時にはこれを使うと便利です。

この3つの公式を使うことで、ある一つの三角比の値がわかるだけで他の2つの三角比はわかることになります。これはとてもすごいことです。問題を実際にやってみると使い勝手の良さに感動すると思います。

相互関係を使って問題を解く

例えばこんな問題が考えられます。

 

\(\sin\theta =\frac{3}{4}\)の時、\(\cos\theta, \tan\theta\) を求めなさい。

 

これは先ほど上げた公式を使えば簡単に求められます。

ですが一旦ここで注意をしておきます。この公式はあくまで

角度が同じ三角比に対して成り立つ公式

であることを頭に入れておいてください。実際に高校数学をやっていく上であまり出くわすことのない問題だとは思います。ですが、大事なことですのでここで取り上げます。

例えば次の関係式はもちろん成り立ちません

$$\sin^2 30^\circ +cos^2 45^\circ =1$$

角度が違うのでこれは成り立たないのです。左辺を計算しても1になるはずありませんね。というわけでこのことを頭の中に入れておきましょう。

では問題に戻ります。\(\sin\) がわかっているので\(\cos\) を求めます。使うのはもちろん(1)式です。

$$\left(\frac{3}{4}\right)^2+\cos^2\theta=1$$

より

$$\cos^2\theta=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$$

です。\(\cos\)でマイナスはないので(近いうちマイナスになることが出てくるので注意してください)

$$\cos\theta=\frac{\sqrt{7}}{4}$$

よって、\(\tan\)は(3)式より

$$\tan\theta =\frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$$

と計算できます。もちろん(2)式を使ってもできるので自分でやってみてください。

終わりに

今回は三角比の相互関係について考えていきました。実際の問題ではこれらを手段として扱うので、できるようにしておくことをオススメします。ある三角比から別の三角比を求めることが今後大事になりますのでお忘れなく。

ではまた。

 

 

 

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