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指数関数・対数関数講座その4(対数の底、方程式・不等式)

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今回の問題はこちら。

制限時間8分です。自力で解きましょう。解いてから下の解説に移ってくださいね。

 

 

 

 

 

解きましたでしょうか。では解説に移ります。

 

 

 

 

 

今回は底が文字の対数が出てくるタイプの問題です。

気をつけるところはもちろん底の条件不等式です。

底の条件は大丈夫ですね。対数の底は必ず

底 \(≠1\)

です。これは指数との関わりを考えてみるとわかります。もし底が1の対数が存在するならこんなことができてしまいます。

$$1^5=1\ より\ \log_{1}{1}=5$$

$$1^{0}=1\ より\ \log_{1}{0}=1$$

などなど。

明らかにおかしいですね。底が1だとなんでもありになってしまい、値がきちんと決まりません。ですから対数の底は1であってはいけません

また底にの大きさによって大きく答えが変わるのが不等式です。これは問題をやりながら確認していきましょう。

 

さて、まずはこの問題が対数の問題とわかった時点でやることが一つ。真数条件です。

$$3x-a>0$$

より

$$x>\frac{a}{3}$$

最初に必ず確認します。

次は底の条件ですが、これは先ほども確認した通り

底 \(≠1\)

より

$$a≠1$$

です。まずはこれで準備は完了。問題は方程式を解けと言っていますのでそのまま解きましょう。

ですが、対数の底が文字の時はどうしましょう。考えることは一緒で、方程式なら対数にすればなんとかなります。

式は

$$\log_{a}{3x-a}=3$$

です。左辺はしっかりとまとまっているので右辺の \(3\) を対数にできればできそうです。

ここで管理人がオススメする対数にする方法が威力を発揮します。とにかく \(1\) があると思えばいいので底が何であっても関係ありません。やってみましょう。

$$3=3\times 1$$

底が \(a\) なら \(\log_{a}{a}\) とすれば \(1\) が作れますよね。これで底が一緒なので

$$3=3\times 1=3\times \log_{a}{a}=\log_{a}{a^3}$$

ですので方程式は

$$\log_{a}{3x-a}=\log_{a}{a^3}$$

となり

$$3x-a=a^3$$

より

$$x=\frac{a^3+a}{3}$$

で答えが求められました。底が文字の時は変換も一つの手ですがこのように数字を無理やり対数にする方法を知っていれば簡単に計算できます。

さて、問題なのが不等式です。これは底が大きく関わってくるので注意します。

不等式としては先ほどの方程式と形は同じなのでここまでは同じです。

$$\log_{a}{3x-a}<\log_{a}{a^3}$$

ですが不等式は真数を比べる時にその不等号が逆になることがあります

例えばこの不等式はどのように解くでしょうか。

$$\log_{\frac{1}{2}}{x}>2$$

これは底が \(\frac{`1}{2}\) なので真数が大きい方が対数自体は小さくなります。こんな風に

$$\log_{\frac{1}{2}}{2}=-1\ \ \ ,\ \log_{\frac{1}{2}}{4}=-2$$

ですから

$$\log_{\frac{1}{2}}{2}>\log_{\frac{1}{2}}{4}$$

ですよね。底が1より小さい(もちろん0よりは大きい)と真数が大きいとマイナスで大きくなるので値自体は小さくなってしまうのです。

というわけで今回の問題は底が文字ですので「場合分け」が必要になります。不等号が変わりますからね。

よってまずは \(a>1\) のときは不等号は変えなくてよいので

$$x<\frac{a^3+a}{3}$$

で、もちろん真数条件があるので下はそれでおさえられて、

$$\frac{a}{3}<x<\frac{a^3+a}{3}$$

です。また \(0<a<1\) のときは不等号が逆になるので、

$$3x-a>a^3$$

より

$$x>\frac{a^3+a}{3}$$

となります。これで解答は終了です。お疲れさまでした。

まとめ

今回のポイントは以下の2つです。

  • 対数の底は \(0<\) 底 \(<1\) もしくは \(1<\) 底
  • 対数の不等式は底の大きさによって真数の大小が変わる=不等号の向きが変化

 

    対数を考える際にはいつも頭に置いておきたい知識です。問題を解く際には意識して問題を解くようにしましょう。
    ではまた。
    以下に解答を載せておきます。答え合わせにどうぞ。

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