「高校数学の知識庫」を今より10倍活用する方法

短期間で6割!ベクトルの対策と考え方(定数倍の関係)

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ベクトルの公式の中で大事な公式の一つが

一直線上にあるベクトルの表記法

です。内容としてはとても簡単なのですが、使う場面が非常に多く、応用範囲も広い重要な公式です。

内容はいたってシンプルで、

一直線上にあるベクトルは互いに定数倍の関係にある
 

です。これ実は少し考えてみると当たり前の公式です。なぜならベクトルを定数倍することはすなわち向きを変えずに長さを変えることに等しいですよね。

これの何がすごいかは他の公式と組み合わせた時によくわかります。ひとまず、一直線上にあるベクトルは定数倍の関係にあることを忘れないでください。

よく問題で出てくるのはこんな感じですね。

三角形の辺を表すベクトルをいろいろ作ってみましょう。

例えばOCベクトルは

$$\vec{OC}=\frac{3}{5}\vec{OA}$$

ですね。\(\vec{OA}\) に対して \(\vec{OC}\) は \(\frac{3}{5}\) 倍になっています。それは比から明らかですね。このように一直線上にある2つのベクトル \(\vec{OA}\ , \vec{OC}\) は定数倍の関係で書けるのです。その定数倍は比によって決まります。一直線上にある場合は長さの関係がそのままベクトルの関係になっていくのです。

同じようにしてODベクトルは

$$\vec{OD}=2 \vec{OB}$$

です。簡単ですね。同じ方向を向いていて長さが2倍の関係にあるのでこうかけます。また

$$\vec{OE}=-\frac{1}{2}\vec{OB}$$

です。これは少し難しく見えますが。一直線上にあることというのはもちろん同じ方向を向いている必要はありません。逆方向でも一直線上になりますね。逆方向はマイナスで表します。\(\vec{OE}\) の長さは \(\vec{OB}\) の半分なので上の用意に書けるわけです。

この何気ない定数倍の話が後にとても重要になることをもう一度強調しておきます。とにかく一直線上にあれば定数倍の関係です。

まとめ

今回は話としては何気ないですがのちに重要不可欠な公式となりますので必ず抑えてください。

とにかく覚えて欲しいことは

ベクトルが一直線上にある=ベクトルが互いに定数倍の関係にある
 

ということだけです。これだけは忘れずに。使うときはすぐにきます。お楽しみに。

少し短いですがここまでにします。

ではまた。

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コメント

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