指数不等式を解く
指数方程式の次は指数不等式も解けるようにならなければなりません。
要領は方程式と同じですのであまり恐れなくてもいいのですが、注意点がいくつかあるのでその部分をこの記事では押さえていただきたいと思います。
指数方程式の記事で学んだ通り
指数 \(=\) 指数
にする事で問題が明らかに簡単になるのでした。なぜなら底が等しければ肩を見れば方程式が解けてしまうのですからね。
不等式でも基本は同じです。とにかく指数になっていないものがあれば指数にし、まとめればいいのです。
ですが方程式と違うところは不等号になることですね。例えば
$$2^x>4$$
は
$$2^x>2^2$$
をですから、もちろん
$$x>2$$
になります。これは確かに \(x\) に \(2\) 以上の数字を入れれば不等号が成り立ちそうです。
ですからこの指数不等式も底さえ揃っていれば肩を見ればいいことになります。
ではこれはどうでしょう。
$$\left(\frac{1}{2}\right)^x>\frac{1}{4}$$
変わったところは底が分数になったところです。
こうなると何か変化が起こるのでしょうか。
やることは同じで、とにかく底を揃えることだけです。もちろん
$$\left(\frac{1}{2}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^2$$
とできますね。肩を見ればいいので
$$x>2$$
と答えが出ました。大丈夫でしょうか。
大丈夫じゃないですね。この答えによると元の不等式を満たす \(x\) の一つとして例えば \(5\) がOKと言っていますが、実際に代入すると
$$\frac{1}{32}>\frac{1}{4}$$
となり明らかに間違っていますので \(x=5\) は解ではありません。一体なにがいけなかったのでしょう。
それは底が分数であることが関係しています。なぜなら底が分数だと
肩が大きければ大きいほど指数自体は小さくなる
からです。例えば
$$\left(\frac{1}{3}\right)^2$$
と
$$\left(\frac{1}{3}\right)^5$$
はどちらが大きいかというと
$$\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}$$
$$\left(\frac{1}{3}\right)^5=\frac{1}{243}$$
ですから肩が小さい方が指数自体は大きくなるのです。先ほどの問題を解いた時に答えを間違ってしまったのはこれを考えていないからなのです。
問題に戻ると不等式は
$$\left(\frac{1}{2}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^2$$
まで変形できましたが、ここで肩を比べる時に元の指数自体の不等号と肩に乗っている数字の不等号(大小関係)は逆になるのです。
これを踏まえれば答えは
$$x<2$$
となり確かにあっていそうですね。
以上から不等式を解く時には指数に直すことと同時に底に注意しなくてはならないことが理解できたと思います。
ここさえ注意できれば不等式もやることは変わりませんね。
まずは
全て底の揃った指数で表して
次に
指数 不等号（\(<\ ,\ >\) など） 指数
にすることを徹底すればいいのです。あとは
底に注意して肩を比べる
ことをすればOKです。
少し問題をやって終わりにしましょう。
例題
$$2^{x+5}>16$$
もちろん指数に直して
$$2^{x+5}>2^4$$
底は1より大きければ不等号はそのままで大丈夫ですね。１より小さくなった瞬間に先ほどの注意が効いてきます。
今回は１より大きいので
$$x+5>4$$
より
$$x>-1$$
です。大丈夫ですね。
お次。
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x-5}<\frac{1}{27}$$
やることは同じです。まずは指数に。
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x-5}<\left(\frac{1}{3}\right)^3$$
今回は底が１より小さいので、肩を比べる時に不等号は逆になりますね。よって
$$x-5>3$$
より
$$x>8$$
です。少しわかってきたでしょうか。
では最後にしましょう。
$$\left(\frac{1}{5}\right)^{2x-3}<\sqrt[3]{25}$$
さて、見た目がやばいですが、やることはやはり同じ。頑張って指数で表します。
$$\sqrt[3]{25}=25^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{2}{3}}$$
これは大丈夫ですね。累乗は分数でした。また
$$5=\left(\frac{1}{5}\right)^{-1}$$
と無理やり表せます。もちろん左辺と底を揃えるためです。これを踏まえて
$$\sqrt[3]{25}=25^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{1}{5}\right)^{-\frac{2}{3}}$$
となりますね。少し大変でしたがあとは比べるだけです。式は
$$\left(\frac{1}{5}\right)^{2x-3}<\left(\frac{1}{5}\right)^{-\frac{2}{3}}$$
ですので底が１より小さいことを忘れずに
$$2x-3>-\frac{2}{3}$$
より計算すると
$$x>\frac{7}{6}$$
ですね。できましたか？できなくても大丈夫です。しっかりと復習して順を追えば必ず解けますので諦めずに立ち向かいましょう。
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まとめ
指数不等式は指数方程式と考え方は同じですが、不等式特有の注意点があります。そこに注意すればやることは指数方程式と同じですのでとにかく指数の扱いになれることが重要です。たくさん練習して自分のものにしてくださいね。
ではまた
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