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置き換えを使う指数方程式・不等式とその解き方~その1~

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

指数方程式が解けない?

これまで指数イコール指数にして方程式や不等式を解いてきましたがそれでは解くのが不可能な問題があります。

要するに私たちが扱う指数の方程式の中には(指数) \(=\) (指数)にできない方程式が存在するということです。

そのような場合には数学お得意の置き換えを使うことが必要になってきますので、ここではその置き換えを使う方程式をみていこうとおもいます。

例えばこんな問題です。

 

$$4^x+3\cdot 2^x-10=0$$

 

これは文字の入っている指数が2つあるのでこれ以上まとめられません。ですから今までやってきたような指数イコール指数の形にできないですね。

 

こういう場合は置き換えを用います。なぜそうなるかというと、この部分に注目するとわかります。

 

$$4^x$$

 

これは単純に見ると \(4^x\) ですが、少し見方を変えるとこんな風にも見えてきませんか。

 

$$4^x=2^{2x}=(2^x)^2$$

 

そうです。\((2^x)^2\) の2乗でもあるのです。ということは式全体をもう一度書くと

 

$$(2^x)^2+3\cdot 2^x-10$$

 

になりますから \(2^x\) を何か文字でおけばかなり見通しが良くなりますよね。

そうです。今回の場合は2次方程式になっているのです。

 

$$t^2+3t-10=0$$

 

今回は \(2^x\) を \(t\) で置いてみましたそうすると \(t\) に関して2次方程式になるのでこれは解けそうですよね。

一つ注意しなくてはならないことは、置き換えたあとはその文字の範囲を必ず確認することです。

今回は指数を置き換えてますので、 \(x\) が何であれ、 \(t\) はプラスになります\(0\) にもなりません

ですから解く時の条件として

 

$$t>0$$

 

があることを忘れないようにしましょう。

ここまでくればあとは解くだけです。置き換えたあとは2次方程式なので

 

$$t^2+3t-10=(t-2)(t+5)=0$$

 

より

 

$$t=2\ ,\ -5$$

 

です。先ほどの条件から \(t>0\) ですから、

 

$$t=2$$

 

これが答えではありませんのでご注意を。

もちろん置き換えたので戻してあげてください。欲しいのは \(x\) ですからね。

戻すと

 

$$2^x=2$$

 

になりますがこれは今までやっていた指数方程式そのものです。これは散々練習していたものですので大丈夫ですよね。

もちろん答えは

 

$$x=1$$

 

となります。これがいつもの形ではない(これから普通に解ける形になってしまうと思いますが)指数方程式の解き方です。

 

まとめ

指数方程式の中でもかなり重要で、頻出の形を今回は学びました。大事なのは指数の見方を変えて、置き換えられる形まで変形することです。2乗などを如何に上手に扱うかが重要になってきますのでわかるまで何度もやりましょう。

ではまた。

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