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置き換えを使う指数方程式・不等式とその解き方 ~その2~

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

今回はシリーズ第二弾ということで、同じパターンの不等式を解いてみましょう。

やることは方程式の時とほとんど同じなのでまだみていない方がいらっしゃいましたら、こちらの記事を先に参照ください。

 

置き換えを使う指数方程式・不等式とその解き方~その1~
  こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。   指数方程式が解けない? これまで指数イコール指数にして方程式や不等式を解いてきましたがそれでは解くのが不可能な問題があります...

 

この記事でも書いている通り、やることはとにかく置き換えです。

一つの指数でまとめられない時にこのテクニックを使いますので、そこは間違えないように。

 

ひとまず問題を見ながらやり方を押さえていきましょう。

いったん広告の時間です。

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例題

 

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x}+5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^x-14<0$$

 

これを見た時にどこに注目するかですが、やはり方程式と同じように \(x\) が付いている指数ですね。

 \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) は何もできませんが、 \(\left(\frac{1}{4}\right)^{x}\) は変形の余地がありますので、\(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) が出てくるように変形してみましょう。

 

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x}=\left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^x=\left(\left(\frac{1}{2}\right)^x\right)^2$$

 

できましたか?この見方を変えることに慣れましょう。こうすれば置き換えが可能になります。\(t=\left(\frac{1}{2}\right)^x\)とすれば

 

$$t^2+5t-14<0$$

 

です。また、置き換えた文字の範囲は必ず確認します。

もちろん

 

$$t>0$$

 

ですね。指数は \(x\) がどんな数字であれマイナスになることはありません。もちろん \(0) にもなりません。

 

さて、ここまでは方程式となんら変わりませんが、ここからは2次不等式を解くという点で違いますね。解く時には不等号の向きに注意して解きましょう。ここも問題ないですね。

 

$$t^2+5t-14=(t+7)(t-2)<0$$

 

より

 

$$-7<t<2$$

 

が出てきました。さてここで大事なことが一つあります。それは先ほど文字の範囲を確認した時に必ず \(t\) はプラスになることが分かっています。

ですから二次不等式を解いた答えはこのままではダメですね。

 

$$0<t<2$$

 

こんな風に変化するはずです。こうしてから置き換えた文字を戻しましょう。

戻すと

 

$$0<\left(\frac{1}{2}\right)^x<2$$

 

になります。もちろん左側の必ずプラスになる方は当たり前ですから考えなくてOKです。考えるのはこちらの不等式

 

$$\left(\frac{1}{2}\right)^x<2$$

 

です。これは解ける形ですね。もちろん底には注意してください。

計算すると

 

$$\left(\frac{1}{2}\right)^x<\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$$

 

より底は1より小さいので

 

$$x>-1$$

 

となります。これで計算は終了です。一つ一つのことをしっかりとやれば必ずここまで来れるはずです。注意点としてはやはり不等式になったときに文字の範囲を忘れないようにすることです。

 

まとめ

置き換えを行うパターンの不等式は指数の分野びおいて重要な考え方の一つです。まずはどう置き換えるかを考えるところから始めてみましょう。それができればあとは二次不等式を解くだけです。できる範囲を少しずつ広げていきましょう。

ではまた

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