「高校数学の知識庫」を今より10倍活用する方法

指数関数とそのグラフ

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

指数関数を描けるようにする

指数について計算ができるようになったら次は関数として扱います。数学はなんでも関数ですね。2次方程式が出てきたと思ったら二次関数を考えますし、三角比が出てきたと思ったら三角関数を考えます。

指数ももちろん関数として扱えます。

 

$$y=2^{x}$$

 

とすれば \(x\) を一つ決めた時に \(y\) が決まりますよね。例えば

 

\(x=3\) の時 \(y=2^{3}=8\) 

 

ですのでこれらの点をどんどん計算して、座標平面に点を書いていけばグラフが書けそうです。

では \(y=2^{x}\) を書いてみましょう。\(x=1\) を入れれば \(y=2\)、\(x=2\) を入れると \(y=4\)、\(x=3\) を代入すると \(y=8\) ・・・ですね。 \(x\) が増えていくとかなり急激に \(y\) の値が大きくなるのが確認できると思います。

ではマイナスの数字を \(x\) に代入するとどうでしょうか。マイナスの数字を代入することはは分数にするのと同じでしたので、

\(x=-1\) の時 \(y=\frac{1}{2}\) 

\(x=-2\) の時 \(y=\frac{1}{4}\) 

\(x=-3\) の時 \(y=\frac{1}{8}\) 

・・・

となり数字がマイナスの方向に大きくなると、どんどん値が小さくなってきます。

もちろん指数自体がマイナスにはなりません。マイナスでものすごく大きい数字にすれば \(y\) の値はとても小さくなりますが、\(0\)にはなりませんしマイナスにもなりません。

ですのでこれらを踏まえると \(y=2^{x}\) のグラフは次のようになります。

 

 

右上がりにグッと伸びていくグラフです。何度も言うようですがマイナスにはなりませんね。

少し補足をすると、みなさん知っての通り指数は底が何であれ \(x\) に \(0\) を入れると \(1\) になるので必ず\((0,1)\) を通ります

これが指数関数の基本的な形です。では底を少し変えてみることにします。

 

例えば底が \(1\) の指数を考えてみましょう。式は

 

$$y=1^{x}$$

 

となりますが、これは \(x\) に何を入れても \(1\) です。ということは指数ではなくこれはただの直線ですね。

 

 

ですので底が \(1\) の指数関数は存在しません。

もちろん底がマイナスもダメですね。なぜなら肩の数字によってプラスとマイナスが変わってしまうからです。

この「底がマイナスの時には指数としては認められない」ことの詳細は省きますが、高校数学の範囲では指数の底は

 

底\(>0\) 

 

の範囲で考えることにします。

 

戻りましょう。先程は底が \(2\) の指数を考えましたが、例えば底が \(1/2\) の場合はどうでしょう。

先程と同じように考えることにします。\(x\) が \(1\) の時は・・・と。もちろんマイナスを入れてもいいのでやってみてください。下にまとめてみます。

 

\(x=1\) の時 \(y=\frac{1}{2}\) 

\(x=2\) の時 \(y=\frac{1}{4}\) 

\(x=3\) の時 \(y=\frac{1}{8}\) 

\(x=-1\) の時 \(y=2\) 

\(x=-2\) の時 \(y=4\) 

\(x=-3\) の時 \(y=8\) 

・・・

これをみると先程の \(y=2^{x}\) のグラフと似たような数字が並んでいます。\(x\) の値のプラスマイナスを逆にすると同じ \(y\) の値が帰ってきていますね。

例えば

 

\(y=2^{x}\) は \(x=1\) の時 \(y=2\) 

\(y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) は \(x=-1\) の時 \(y=2\) 

 

ですね。これは実は当たり前で、今考えている指数関数は

 

$$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=(2^{-1})^{x}=2^{-x}$$

 

と書き換えられますので、2x乗で考えていたものとxの値がひっくり返った数字が帰ってくるには当然です。実際にグラフを書くと

 

 

となり、2x乗と比べるとy軸対称になっていることが確認できます。

なぜxが増えるとyが減るかはわかりますね。底が1より小さいのでxが大きくなるとyは小さくなります。

これらを踏まえると一般的に次のように言えます。

 

  • 底が \(1\) より大きい

 

グラフが右上がり

 

  • 底が \(0\) から \(1\) の間の時

 

グラフは右下がり

 

 

まずはこの2つをしっかりとおさえてみてください。

まとめ

指数関数のそのままの形が問題出てることは多くはありませんが、指数にどのような傾向があるのかを視覚的に知る術としてはとても良い題材です。このグラフのイメージを持つことはこの先の指数の計算に大きなプラス要素なのでぜひここで身につけてください。

ではまた

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