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シグマの意味と性質

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

シグマとは

まずはシグマ記号の意味を考えていきます。シグマ記号は次のように定義されます。

$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+…a_{n-1}+a_{n}=\sum_{k=1}^n a_{k}$$

 

一言でいうと「書くのが面倒なので記号で書いた」のです。実はこの言葉大事です(笑)。

右の

$$\sum_{k=1}^n a_{k}$$

の意味を示します。

記号の下と上にある \(k=1\)、\(n\) は、初項からスタートして2、3、4、・・・、n-1、nと順番に代入してくださいという意味です。\(\sum\) の記号はそれらをすべて足していきましょうということになります。\(a_{k}\) は一般項の \(n\) を \(k\) としたものです。

例えば次の数列の初項から第 \(n\) 項までの和をシグマの記号で表してみます。

$$2+5+8+11+14+17+…$$

まずは何がわからなければならないかというと一般項です。これは等差数列なので、初項2、公差3より

$$a_{n}=2+(n-1)\times 3=3n-1$$

またこの数列は初項から第\(n\)項までの和なのでシグマ記号は \(k=1\)、\(n\) を使えばよいですね。ということは

$$2+5+8+11+14+17+…=2+5+8+11+14+17+…+3n-1=\sum_{k=1}^n (3k-1) \nonumber$$

と書けます。いかがでしょうか。もう一つ例を挙げます。次の数列の和をシグマ記号を使って表してみます。

$$3+6+12+24+48+96$$

今度は6項目で打ち切られています。こういう場合は記号の\(n\)の部分を変えなければなりません

まずは一般項。この数列は初項3、公比2の等比数列なので一般項は

$$a_{n}=3\cdot 2^{n-1}$$

です。和は初項から第6項までなので

$$3+6+12+24+48+96=\sum_{k=1}^6 3\cdot 2^{k-1}$$

と書けます。少しイメージできてきたでしょうか。記号はあくまで記号です。それが示す意味が大事ですので忘れないように。

シグマ記号の性質

シグマ記号にはとても有用な性質があります。今までは等差数列と等比数列の和しか出せなかったのですが、基本的な数列の和の公式さえ知っておけばいろいろな和が計算できるようになります。「一般項が示されてはいるものの実態はよくわからない数列の和」を簡単に求めることができるのです。
 
例えば次の一般項を持つ数列の和を求めたいとしましょう。
 
$$a_{n}=3k^2+5k+3$$
 
これは一般項だけを見てもよくわかりませんね。私たちの知っている等差数列、等比数列の形ではありません。しかしシグマの記号を使うとこの和を機械的に求めることができます
 
できることその1:足し算引き算は分けることができる。
 
シグマ記号の中にある足し算引き算は分解することができます。つまりこういうことです。
 
$$\sum_{k=1}^n (3k^2+5k+3)=\sum_{k=1}^n 3k^2+\sum_{k=1}^n 5k+\sum_{k=1}^n 3$$
 
分割してそれぞれで計算してよいということですね。
 
できることその2:定数倍はシグマ記号の外に出せる。
 
シグマ記号では \(k\) がどんどん変わっていくので、それ以外の定数はシグマと関係ないと考えることができます。ですがあくまで定数倍のところです。実際にはこんな感じです。
 
$$\sum_{k=1}^n 3k^2+\sum_{k=1}^n 5k+\sum_{k=1}^n 3=3\sum_{k=1}^n k^2+5\sum_{k=1}^n k+3\sum_{k=1}^n 1$$
 
シグマには基本的にこのような性質があるので、あとは和の記号を計算できればいいわけです。この
 
$$\sum_{k=1}^n k^2\ ,\ \sum_{k=1}^n k\ ,\ \sum_{k=1}^n 1$$
 
の計算結果に関しては次以降に示します。性質は次回以降もちろん使っていきますのでおぼえておいてくださいね。
 

終わりに

今回はシグマの計算まではいかずに、その意味と性質について触れました。今後の数列の計算には欠かせないシグマをマスターできるように頑張りましょう!

ではまた。

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