今までに無い和の形
これまで私たちは和の公式を2つ覚え、和の記号シグマを使えばある程度機械的に和を求められるようになりました。
しかし実際問題、シグマを使ってもうまく和を求められないものが多数あります。
そのような和を求めるにはちょっとした(時には大胆な)工夫が必要になります。
正直なところこれらは覚えてもらうしか無いのですが、丸暗記ではなく、そのプロセスを覚えてもらいたいと思います。
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部分分数分解
ここでは特殊な和のパターンの一つ、部分分数分解を使った和の求め方を考えていきましょう。まず題材としたい問題は次の問題です。
次の和を求めなさい。
$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}$$
この問題をどう考えるかです。普通に計算しようとしたら無理ですね。今まで数列の和の出し方を見てきた人ならわかるでしょう。
どうするかというと、項それぞれを「分解」します。簡単に言うと例えば一項目は
$$\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$$
とできないかと考えるわけです。確かめるためには右辺を計算しなおして（通分）左辺に戻ることを確認すればいいのです。
要するに
$$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{2-1}{1\cdot2}=\frac{1}{1\cdot 2}$$
となり元に戻ります。この例だとうまくいきますね。なぜこの「引き算」の形にするのかは後でわかります。
この問題だとすべての項において、一般項である\(\frac{1}{n(n+1)}\) を使って
$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$
となるとまず仮定します。そこで右辺を計算しなおしたときに
$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}$$
と元に戻ることが確認できるので、仮定は正しかったことがわかります。
ということは、今あるすべての項に適用してよいということができます。
すなわち、今回の問題は隣り同士がどんどんと消え
と計算できますので、簡単な形になりました。
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部分分数分解の考え方と対応
さて、とりあえず問題を解けたわけですが、あんなにうまくいく問題だけなのでしょうか。
もちろん違います。すべてが上でやったような形で単純にはできません。ですが同じような考え方で「つじつま合わせ」をすれば対応することができます。
例えば次の問題を考えてみます。
次の和を求めなさい。
$$\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)}$$
これは先ほどのようにうまくいくのでしょうか。とりあえず安直に引き算になると考えてしまいましょう。要するに
$$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$$
となると信じるわけです。これが元の形に戻ればなんてことはないです。
$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}=\frac{(n+2)-n}{n(n+2)}=\frac{2}{n(n+2)}$$
あれ、元に戻らないですね。余計な2がいます。どうしましょうか。こうします。
$$\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$$
ただ２で割っただけです。なぜこうしたかというと、左辺がもともと考えていた形に戻るからです。すなわちこのような式が得られます。
$$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$$
要するにそのまま引くだけでは足りなかったわけです。余分に２が出てきてしまうので２で割っておこう、ただそれだけでいいのです。
実をいうとこのやり方は応用範囲が狭いです。ですが最初にやるときは便利ですし、とりあえず分けてあとで合わせるというとっつきやすい方法なのでこちらをおススメします。
この先はもう自分でできると思いますので答えだけ書きますね。ちょっと難しいですが地道にやれば答えに辿り着けるはず。
答えは
$$\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$$
です。(2021/1/26 答えを間違っていましたので訂正いたしました。ご指摘いただいた方ありがとうございます。少し難しいので後に詳細な解き方をさらに追記しようと思っています。)
終わりに
今回は部分分数分解について考えました。パターンといえばそれで終わりですが、どうやるのかが大事です。何かといろいろなところに出てくるので覚えておいて損はないです。なんどもやって慣れていきましょう。
ではまた
コメント
[…] ですよね。数学Bでやったはずです。もしわからない人は一旦数学Bの部分分数分解の解説記事へGO。 […]
最後の問題の答えがもしかしたらあってないかもです
コメントありがとうございます！
確認したところ確かに間違っていました・・・
計算し直して修正しましたので確認いただけると幸いです！
ご指摘本当に助かります！！今後とも当サイトをよろしくお願いいたします！！
da Vinch
よかったです！
サイト大変見やすく、わかりやすいので助かっています。
応援してます！！
嬉しいお言葉ありがとうございます！！
このサイトが少しでも理解の助けになればそれ以上の喜びはありません！！
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da Vinch