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等差数列の和の公式の考え方

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

 
 
等差数列は隣り合う項の差が等しい数列でした。では初項からある任意の項までの和を簡単に計算する術はあるのでしょうか。
 
まず、次の数列を考えるとこれは等差数列ですね。
 
3 7 11 15 19 23 …
 
ではこの数列の初項から第4項までの和は何でしょうか。簡単です。
 
$$3+7+11+15=36$$
 
ではこの数列の初項から第100項までの和は何でしょうか。突然やりたくなくなったと思います。第100項までとか書くのだけでもきついですね。ではこのような状況を打開する公式を作れないでしょうか?初項から任意の第n項までの和を求める公式が欲しいですね。

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公式の導出

まず等差数列の一番最後の項を\(l\)とし初項を \(a\) 公差を \(d\) とします。そうすると第 \(n\) 項目までは
 
$$S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\cdot\cdot\cdot +(l-2d)+(l-d)+l$$
 
と書き直せます。\(S_{n}\) は第 \(n\) 項までの和であることを表しています。英語の足し算を表す sum の頭文字です。かっこで一緒にしてるものは項を表しています。例えば(a+d)は第2項目です。等差数列ですから当然ですね。最後の方は、最終項を \(l\) としているので、その前の項は等差数列ですから公差を引いた \((l-d)\) とかけます。その前の項も同様です。
 
ここまでは大丈夫でしょうか?では次に行きます。
 
これを後ろ前逆転させてみましょう。難しいことは何も言っていません。書く順序を逆にするだけです。ということは
 
$$S_{n}=l+(l-d)+(l-2d)+\cdot\cdot\cdot +(a+2d)+(a+d)+a$$
 
とかけます。ではこの式(2)、(3)の左辺と右辺をそれぞれ足してみましょう。左辺はもちろん \(S_{n}+S_{n}=2S_{n}\) です。では右辺はどうでしょう。
 
それぞれの第1項目を足すと\(a+l\) です。第2項目は
 
$$(a+d)+(l-d)=a+l$$
 
となり、第1項目と同じです。計算すると第3項目以降も全て \(a+l\) になります。ということは項は全部で \(n\) 個あるわけですから、
 
$$2S_{n}=(a+l)\times n$$
 
となります。欲しいのは \(S_{n}\) ですから、2で割って
 
$$S_{n}=\frac{1}{2}n(a+l)$$
 
とかけます。これが等差数列の初項から第 \(n\) 項目までの和となるわけですね。
 
これをみて分かる通りこの公式は初項 \(a\)、一番最後の項(末項と呼びます)と項数 \(n\) でかけていることがわかります。ちなみに末項 \(l\) は元の書き方に戻せば \(a+(n-1)\times d\) ですから、代入して
 
$$S_{n}=\frac{1}{2}n[a+a+(n-1)\times d]=\frac{1}{2}n[2a+(n-1)\times d]$$
 
ともかけます。これなら公差 \(d\) が入っているので便利です。というわけで等差数列の和のもう一つの表式として
 
$$S_{n}=\frac{1}{2}n[2a+(n-1)\times d]$$
 
が得られます。
 
まとめると
 
 
初項 \(a\)、末項 \(l\)、項数 \(n\) の等差数列の和は
 
$$S_{n}=\frac{1}{2}n(a+l)$$
 
となる。また公差を \(d\) として
 
$$S_{n}=\frac{1}{2}n[2a+(n-1)\times d]$$
 
ともかける。
 
いかがでしょうか。これで最初の方にあった第1項目から第100項目までの和がなんとか出せそうです。例として解いてみましょう。

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ちょっと例題

先ほどの数列をもう一度書きますと、

3 7 11 15 19 23 …

です。この数列から分かることは、

等差数列であること

初項が3 、公差が4であること

です。とりあえず一般項は

$$a_{n}=3+(n-1)\times 4=4n-1$$

です。ということは第100項目は

$$a_{100}=4\times 100-1=399$$

なので、項数は100であるから公式より

$$S_{100}=\frac{1}{2}\times 100(3+399)=50\times 402=20100$$

であることを計算できました。ものすごい数字ですね(笑)。

同じようにしてもう一つの公式でも出してみましょう。公差は4であるので項数100を当てはめて

$$S_{100}=\frac{1}{2}\times 100[2\times 3+(100-1)\times 4]=50(6+4\times 99)=50\times 402=20100$$

でちゃんと計算できました。

これらは使い分けが大事です。どちらもできておいて損はないですよ。

終わりに

ここでは等差数列の和について学習しました。今後もたくさん使っていく公式ですので覚えておいてくださいね。任意の項が出てきて文字が増え、わかりにくいところもありますが、具体例を見て確かになっていることを確認して見てください!

ではまた。

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