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2つの円の位置関係と円の半径・中心間の距離

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

この記事のトピックは「2つの円の位置関係とその見分け方」です。

 

 

「直線と円」の次は「円と円」

直線と円について学習したら、次は円同士の関係を見ていきましょう。円同士の関係では難しい公式などは出てきませんので安心してください。

ただ少しわかりづらいところもあるので、なるべく詳しく見ていきたいなと思います。

円同士の関係は何で決まるか。次からじっくり見ていきましょう。

円同士の関係は中心間の距離と半径で決まる

見出しにもあるとおり、円同士の関係を決めているのは

 

2つの円の中心の距離

 

 

2つの円の半径

 

です。例えば円同士が全く交点を持たない場合というのは一つ目に

 

 

こんなのが考えられます。これは2つの円が「互いに外部にある」とよく呼ばれます。この時は見てわかる通り

 

 

それぞれの中心間の距離より2つの円の半径を足したものより大きくなっています。

つまり、2つの円の中心間の距離を \(d\) とし、円の半径はそれぞれ \(r_{1}\)、\(r_{2}\)とすれば

 

 

互いに外部にある \(\leftrightarrow \) \(d>r_{1}+r_{2}\)

 

 

と言えます。

ここで一つ注意なのですが、前提条件として2つの円の半径は

 

\(r_{1}>r_{2}\)

 

としておきます。つまり \(r_{1}\) の方が \(r_{2}\) よりも大きい状況と常に考えて関係を決めていこうというわけです。今後の議論に効いてくるのでしっかり覚えておいてください。

 

さて次にいきましょう。では円の関係はこれだけで終わりかというと、もちろんそんなことはありません。

だんだん2つの円を近づけていくといつかは交点を持つようになります。ちょうどぶつかる瞬間は「交点が一つ」つまり「接する」ことが起きます。

 

 

このような状況を私たちは2つの円が「外接する」ということにします。このような時はもうお分かりの通り

 

\(d = r_{1}+r_{2}\)

 

の時に起こりますね。ですから

 

 

外接する \(\leftrightarrow \) \(d=r_{1}+r_{2}\)

 

 

という条件が分かります。これが2つ目の関係です。

さて、次はというと、先ほど交点を持たないと言った時に僕が「一つ目に」と言ったのを覚えてますでしょうか。

実は交点を持たない場合は「互いに外部にある」だけではありません。勘の良い人はもうわかっているとは思いますが

 

 

こんな状況も考えられます。これは外部にあるのではなく、逆に「互いに内部にある」状況です。これも交点を持たないパターンに入りますよね。

ではこれはどんな条件の時に起こるのでしょうか。これが少し難しいのですが、次の図を見ると少し理解が進むのではないでしょうか。

 

 

結論から言うと

 

互いに内部にある \(\leftrightarrow \) \(d<r_{1}-r_{2}\)

 

です。内部にある場合は必ず

 

大きい方の円から小さい方の円の半径を引いても、中心間の距離よりも必ず小さい

 

のです。完全に2つの円の中心が一致している場合を考えるとそれは明らかですね。

 

 

中心間の距離は \(0\) ですから、半径同士を引いても \(0\) より小さくはなりませんから。

 

と言うわけでもう一度確認すると

 

 

互いに内部にある \(\leftrightarrow \) \(d<r_{1}-r_{2}\)

 

 

が分かりました。じゃあここから円を少しずつ離していくと・・・

 

 

こんな状況になりますね。これは先ほどの外接と同じような感じですが、こういう状況を「内接する」と言います。言葉自体は何度も聞いているものですね。

さて、この時はどんな条件が出てくるかというと

 

 

内接する \(\leftrightarrow \) \(d=r_{1}-r_{2}\)

 

 

こうですね。図を見れば一目瞭然です。なぜなら互いに内部にあるところからだんだん中心間の距離を離して行ったわけですから、ちょうど \(d=r_{1}-r_{2}\) の時に違うことが起こりますよね。

というわけで内接まで行ったわけですが、残っているのは

 

 

こんな状況ですね。この状況は「二点で交わる」と言われますが、条件はどのようになるでしょうか。

 

ここまで理解できた人なら簡単でしょう。二点で交わるということはつまり

 

中心間の距離が、「外接よりも近づいて」「内接よりも離れている」

 

ということですから、外接の条件

 

\(d=r_{1}+r_{2}\)

 

よりも \(d\) が小さく

内接の条件

 

\(d=r_{1}-r_{2}\)

 

よりも \(d\) が大きくなればいいですね。つまり

 

 

二点で交わる \(\leftrightarrow \) \(r_{1}-r_{2} < d <r_{1}+r_{2}\)

 

 

ということです。難しくないですね。極端な例から考えれば系統的に理解しやすいのではないでしょうか。

2つの円の関係を用いた問題

一つ問題を解いて終わりにしましょう。

例題中心が \((3,1)\) である円 \(C\) と円 \((x+1)^2+(y+1)^2=5\) が外接する時、円 \(C\) の方程式を求めよ

円同士が外接する時、片方の円の方程式を求めなさいということですね。やることは簡単で、外接するためには

 

中心間の距離 \(d\) =\(r_{1}+r_{2}\)

 

であればいいので、今ある情報からわかっていない円の半径を求めればいいですね。

円 \((x+1)^2+(y+1)^2=5\) の中心はお分かりの通り \((-1,-1)\) ですから、円 \(C\) との中心間の距離 \(d\) は

 

\(d=\sqrt{\{(3-(-1)\}^2+ \{(1-(-1)\}^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)

 

ですね。求めたい円 \(C\) の半径を \(r_{2}\) とでもすれば、わかっている円の半径は \(r_{1}=\sqrt{5}\) ですから

 

\(2\sqrt{5}=\sqrt{5}+r_{2}\)

 

より

 

\(r_{2}=\sqrt{5}\)

 

となります。これで円 \(C\) の半径がわかったので中心が \((3,1)\) であることから、方程式は

 

\((x-3)^2+(y-1)^2=5\)

 

となります。ちなみに状況としては

 

 

こんな感じになります。難しくありませんね。うまく円同士の関係を使って求めることができました。

まとめ

円同士の関係はあらわに問題に現れるわけではありませんが、考え方の基礎となりうる重要な内容です。図と式とのイメージを合わせていくのが重要だと思いますのでこの状況のときはこんな図になって、式はこうだ、と言えるようにしておきましょう。

ではまた。

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