数列の極限の最大の注意 不定形とその意味

無限大は数字じゃない？　引き算は不定形

前回、数列の極限をやった時にこう思った人がいるんじゃないでしょうか。

 

もう最初から変形なんてせずに無限大とか入れて収束するかどうか調べればいいじゃん

 

そう思いますよね。多分誰でも最初は考えるはずです。

極限をとるだけなら「代入」の感覚でやればいいんじゃないかと。

実は極限の範囲ではこれが一番危険です。なぜなら無限大というのは数字ではなくそういう「概念」なだけであって、私たちが扱っている数字と同じようには使ってはいけないからです。

例えばこの式を計算できますか。

 

\(\infty -\infty\)

 

え？ \(0\) でしょと思った多くの皆さん。違うんです。無限大から無限大を引いても \(0\) ではないのです。

ものすごく大きいとか、ものすごく小さいとかというのはあくまで抽象的です。何か最大とか最小の値を持っているわけではないので引いて \(0\) になるかどうかわからないのです。

厳密ではありませんがこんな風に考えてみましょう。

ものすごく大きな数字として

 

\(100,000,000,000\)

 

という数字を考えてみます。かなりこの数字は大きいですがもちろん

 

\(1,000,000,000,000\)

 

も大きいですよね。10倍違います。このときも私たちは自然に「大きい数字から大きい数字を引く」という風に言えますよね。

でもすぐにわかる通り計算結果は

 

\(1,000,000,000,000-100,000,000,000=900,000,000,000\)

 

ですからもちろん \(0\) ではありません。むしろかなり大きい数字になってしまっています。

言うなれば

 

\(\infty -\infty=\infty\)

 

もありえてしまうことになるわけです。これはおかしいですよね。ですから

 

\(\infty -\infty=0\)

 

と書くことは許されないのです。

なので「無限に大きい」と言った時には数字を考えてはいけないわけです。それらの引き算はそもそもよくわからないと言わないといけないわけですね。

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割り算も不定形

同じように考えると割り算もダメですね。

 

\(\frac{\infty}{\infty}\)

 

これはものすごく大きいものをものすごく大きいもので割るのですが、値はもちろん定められません。

足し算と掛け算はなんてことないですね。大きいものに大きいものを足してもかけてもやはり大きくなるだけです。

 

\(\infty +\infty=\infty\)

\(\infty \times \infty =\infty\)

 

つまり

 

\(\infty -\infty\)

\(\frac{\infty}{\infty}\)

 

の２つは明らかに計算不能なのです。これが「不定形」と言われるもので、この形が出てきてしまう場合は数学的にはなんとかして避けなくてはならないのです。

気をつけて欲しいのは

 

不定形が出てきた \(=\) 極限は求められない

 

ではないということです。不定形になってしまうのは計算方法がある意味「悪い」からでほとんどの場合（高校数学の範囲では）必ず不定形を「避ける」ことができます。

まずおさえて欲しいのは

 

ということですね。

まとめ

今回は極限を学んでいく上での１番の注意をまとめてみました。実際に計算をするとわかりますがほとんどの確率で与えられた問題をそのまま極限をとると不定形になります。これを避ける方法をこれから学んでいくんだというモチベーションで取り組むと自分が何をやっているかわかるでしょう。

ではまた。