関数が連続であることをきちんと説明するには
さて、前回の記事で「関数の連続性」について学習しました。
簡単に復習しておくと、関数がある \(x=a\) で連続であることを言うためには
関数 \(f(x)\) において、その関数の定義域内のある値 \(a\) に対してまず、
極限値 \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) が存在し、かつ \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\) である時、\(f(x)\) は \(x=a\) で連続であるといい、関数 \(y=f(x)\) のグラフは \(x=a\) でつながっている。
がきちんとした説明でした。まあ、つまりは
どんな定義域内の \(x\) でも極限が存在する
ある \(x=a\) での極限値と 関数の値 \(f(a\) が一致している
を満たした時初めて、関数は その定義域内の \(x\) で「連続」である。逆にこれのどちらも、もしくはどちらかを満たさなければその関数は「不連続である」
と言うことでした。もっと言えば
「代入して」「極限とって」それらが同じだったらその点ではその関数は連続である
ということです。これを持って関数が連続であることを確認することができるのでした。
まあ、私たちが学んできた基本的な関数はグラフを作れば明らかですが、大抵連続関数でしたよね。
ただ、そうでない関数もあるのは前回確認した通りです。
そうでないと言っても、「ある一点」で連続でないだけで、それ以外では連続であることがほとんどです。つまり
連続である関数はどんな \(x\) でも連続
であるが、
不連続な関数はある一点もしくは数点で不連続で、それ以外では連続
ということが多いのです。ですので一概に「不連続」といっても状況が大きく違うこともあります。
ですので私たちは「連続である」というときには
範囲
を指定するべきですよね。
ある範囲では連続で、この点では不連続である
とか
全ての範囲で連続である
とか。私たちはそのような「範囲」をこれまで「不等式」でしばしば書いてきました。例えば
\(\displaystyle a<x \leqq b\) の範囲で考える
なんていう風に。
実は数学の、特に関数の分野では、この「範囲」のことを「区間」と言い、不等式で書くよりも簡単な記号で書くことにしています。
例えば先ほどの
\(a<x \leqq b\)
は区間の記号で書くと
\((a, b]\)
です。「かっこ」と「カンマ」で書き表します。\(x\) は書かなくても対象としている関数の変数であることはすぐにわかるので書きません。
注意すべきことは「かっこ」には２種類あることです
今回は\(x\) は\(a\) を含まず \(b\) を含みます。この時
含まない時は普通のかっこ「 ( 」「 ) 」
含む時は鍵かっこ「 [ 」、「 ] 」
というルールがあります。ですので今回は \(a<x \leqq b\) が \((a, b]\) となった訳です。大丈夫ですね。
また、\((a,b)\) のように \(x\) がどちらも含まない場合の区間を「開区間」、 \([a,b]\) のようにどちらも含む場合を「閉区間」といいます。含むときが閉区間なので注意してくださいね。
さて、言葉がわかったところでちょっと練習します。こんな場合はどうでしょう。
\(x \leqq b\)
下限がありませんね。 \(b\) より小さいというこの不等式を区間の書き方で書くと
\((-\infty, b]\)
となります。下限がない場合は \(-\infty\) で書き、無限大には絶対に到達はできないので必ず「 ( 」を使います。もちろん実数全体を表す区間は
\((-\infty, \infty)\)
になりますね。
これを使えばかなりスタイリッシュに関数の連続性について語ることができます。
例えば \(y=\sin{x}\) なんかは全ての \(x\) で連続であることはグラフから一目瞭然なので
\(y=\sin{x}\) は開区間 \((-\infty, \infty)\) で連続である
なんていう風に言える訳です。楽ですし、かっこいいです。また、このように定義域内で連続な関数のことを
連続関数
と呼びます。これも覚えておきましょう。意外と安易に連続関数とは言えないということですね。
また \(\displaystyle y=\log_{2}{x}\) はグラフを見てもわかるとおり
連続な関数ですが、もちろん全区間ではなく \((0, \infty)\) で連続です。
真数は \(0\) にならないので「 ( 」を使うことに注意ですね。もちろん定義域もこの区間なので対数関数も連続関数です。
連続でない時もこの「区間」を使ってスマートに記述できます。
\(\displaystyle y=\frac{x}{x-2}\)
は \(x=2\) で不連続 ですが、それ以外では連続です。
ということはこんな風に言うこともできます。
\(\displaystyle y=\frac{x}{x-2}\) は 2つの区間 \((-\infty, 2)\)、\((2, \infty,)\) で連続である
連続でないことを言うのではなく「どこで連続か」を言うことが可能になります。
このように区間を使うことでわかりやすくその関数の連続性を説明することができるようになりましたね。
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連続関数の性質と中間値の定理
さて、連続関数をしっかりと言い表せるようになりましたが、連続関数には何か面白い性質があるのでしょうか。
もちろんあります。ただ、僕は面白いかと言われるとどちらかと言えば、当たり前じゃない？って思いました。それぐらい普通のことを言っている気がするのですが、実は問題に応用できたりと、使用範囲が広いです。
数学では
「当たり前だなと思うこと」が定理になれば、安心して「当たり前」と言える
ので、逆に証明の時とかで威力を発揮する場面が多いです。
というわけで一つ目の性質からいってみましょう。まずはこれ。
閉区間で連続な関数は、その区間で最大値および最小値を持つ
閉区間は皆さんご存知の通り \([a,b]\) のような区間のことですね。その区間で連続であれば、つまり「しっかりとつながっていれば」その区間で必ず最大値と最小値があるということです。
閉区間でつながったグラフであれば最大と最小が必ずあるのは確かにそうっぽいです。
適当なつながったグラフを書いてあげればどう頑張っても最大値と最小値が現れますものね。
逆に閉区間で連続でなければ最大値もしくは最小値が決められないということにもなります。例えばこんなのを想像すると良いでしょう。
これは最大値は決められますが、\(x=0\) で最小値を取っているように見えて、ここは値が飛んでいるので、最小値になりません。
このように、ある区間で不連続であると最大値や最小値が決められないことがあるのですね。
気をつけて欲しいのはあくまで決められないことがあるだけです。不連続であってもどちらも決められることはもちろんあります。
ですから大事なのは
閉区間で「連続であれば」必ず最大値と最小値がある
という点です。
また、これに付随して、閉区間で連続な関数 \(f(x)\) に対して次の「中間値の定理」が成り立ちます。
関数 \(f(x)\) が閉区間 \([a,b]\) で連続で、 \(f(a)\neq f(b)\) ならば \(f(a)\), \(f(b)\) の間の任意の値 \(k\) に対して
\(f(c)=k\) , \(a<c<b\)
を満たす実数 \(c\) が少なくとも１つある
これが中間値の定理です。言葉で書くとものすごく難しいことを言ってそうですが、実際はそうではありません。
中間値の定理が言っていることを図に書くと
こんな感じです。\(f(a), f(b)\) は等しくないけど、その間で連続である関数を適当に書きました。
これに横線、つまり \(y=k\) の直線を \(f(a)\) と \(f(b)\) の間に引くと、必ずどこかでその関数を横切ります。
その重なったところの \(x\) 座標が、 \(c\) です。今回の場合は1個ですが、そんな \(x\) 座標が必ず1個以上ありますよね、と中間値の定理は言っているのです。
考えてみれば当たり前ですね。 \((a,f(a)), (b,f(b)\) を決めてその間を連続にグラフを書くと \(y=k\) の線を跨いでしまいますから。
どう頑張ってもそうなってしまいます。動画で僕が挑戦していますね (gifが荒くて見づらいかもしれません。ご了承ください) 。
これがなんなのさ！という声が聞こえてきそうです。そうなんですよね、確かにこれだけだと当たり前に思うのですが、これをうまく使うと非常に重要な問題が簡単に解けてしまうのです。
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中間値の定理を応用した問題
こんな問題が出てきたらあなたはどうしますか。
方程式が与えられて、その実数解があるかどうかと言っているので、解が分かれば話は終わりなのですがどう頑張ってもこの方程式を解けそうにありません。 \(\cos\) と\(x\) が出てきたらどうしようもないですね。
ですがこの問題は中間値の定理があれば一瞬で解くことができます。なぜなら中間値の定理をうまく使うと次のことがわかるからです。
関数 \(f(x)\) が閉区間 \([a,b]\) で連続で \(f(a), f(b)\) の符号が異なれば、方程式 \(f(x)\) は \(a<x<b\) の範囲に少なくとも一つの実数解を持つ
先ほどの中間値の定理と違うところは、色を変えている通り
\(f(a)\) と \(f(b)\) の符号が異なれば
というところです。これは実際にやってみると、もし関数が閉区間で連続ならば、 \(f(x)=0\) は必ず\(a<x<b\) の間に解があるらしいのですが・・・
確かにどう頑張っても \(x\) 軸とグラフが交わります！！先ほどの中間値の定理で言う \(y=k\) が \(x\) 軸になったのですね (またまたgifが荒くてすみません) 。
ですから、今回の問題は \([\pi, 2\pi]\) で \(x-x\cos{x}\) は連続であることはすぐにわかるので（発散するところがないので厳密ではないですが高校数学では自明としてOKです)区間の端っこの値がどうなっているかだけを調べればいいのです。
今回の区間は \([\pi, 2\pi]\) なので、実際に代入して座標がどうなっているかを確認しましょう。
計算すると \(f(x)=1-x\cos{x}\) として
\(f(\pi)=1-\pi\cos{\pi}=1-\pi\times (-1)=1+\pi >0\)
\(f(2\pi)=1-\pi\cos{2\pi}=1-\pi <0\)
となって異符号になりました。つまりこれは
と同じ状況であるということなので、方程式 (1-x\cos{x}=0\) は \([\pi, 2\pi]\) の範囲に少なくとも１つの実数解を持つことがわかります。
一見解決策がなさそうな問題でも中間値の定理を使えば簡単に示すことができましたね。強いです。
まとめ
今回は閉区間・開区間と特に中間値の定理について学んでいきました。難しいことはやっていませんが、非常に「イメージ」が大事になってくるところなので、言葉をグラフ上で想像できるとわかりやすいでしょう。途中で出てきた図を最大限利用して理解の助けにしてみてください。
ではまた。
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