ルートの扱いと有理化

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ルートの計算の簡単なおさらい

ルート、根号とも言いますが、これはどんな時に出てきていたでしょうか。

高校数学を学んでいくにあたって当たり前に出てきますが、ここで簡単におさらいして、計算方法も復習しておきましょう。

根号が初めて出てきたのは中学生の範囲なのですが、それはこんな方程式を解く場面でした。

$$x^2=3$$

これを解きなさいと言われた時に困ってしまいます。2乗して3になる数字は僕たちの知っている数字ではありそうもないです。

これを打開(正確にいうとそうなる数字を記号で定義したのですが)するために、この方程式の解を

$$x=\pm\sqrt{3}$$

としましょう、と決めたのです。これがルートの始まりです。ここで抑えて欲しいのは\(\sqrt{3}\)は別に何かを超越した記号ではなく、

$$\sqrt{3}=1.7320508\cdots$$

と無限に続く小数を使って書くこともできるような数字であることを忘れないでください。ちなみに今の\(1.7320508\) を2乗すると

$$1.7320508^2=3.001583970064$$

となり、ある程度3に近い数字が得られます。3に近いけど3にならない理由は、途中で打ち切ってしまっているのでまさに2乗したら3になる数字ではないのですね。

というわけで、ルートについて少し復習しました。次に計算方法を確認しましょう。

ルートの足し算引き算は基本的に同じ数字のルートでないとできません。すなわち

$$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$$

とはできないということです。これは間違いです。実際に電卓等で計算してみてください。

これはできます。

$$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$

\(\sqrt{2}\)が二つぶんという意味で\(2\sqrt{2}\)です。大丈夫ですね。

かけ算、割り算はルートの中身で行えます。要するに

$$\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\sqrt{6}$$

$$\sqrt{6}\div \sqrt{2}=\sqrt{3}$$

と計算できるということです。まとめると

ルートの和・差は同じルートでのみ

ルートの積・商はルートの中身で

計算できる

 

です。

ルートのついた式の有理化

計算を楽に進めたり、式をみやすくするという理由で有理化という操作をすることがあります。ここでは有理化の方法についてまとめておきましょう。

まず有理化とは

ルートのない形を作る

と覚えておくのがいいでしょう。その例をこれから説明していきます。

有理化には基本的に二つあります。

一つは分数が出てきた時に分母にルートがない形にする「分母の有理化」

もう一つは無理やり分子にルートがない形にする「分子の有理化」です。

ここでは分母の有理化に絞って話をしていきます。分子の有理化は数学Ⅲで出てきますよ。

例を交えて分母の有理化をみていきましょう。例えば次の式は分母にルートが入っていて見栄えが少し悪いです。

$$\frac{3}{\sqrt{5}}$$

この式の分母をなんとかしてルートがない形にしたいわけですがどうしたら良いでしょうか。

これはルートの意味に戻ると同じルートのかけ算は中の数字が出てきますから、\(\sqrt{5}\times \sqrt{5}=5\)となるはずです。ということは

$$\frac{3\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$$

とすれば分母からルートをなくせます。分母にルートのみがある場合は同じルートをかけてあげればいいわけですね。

ではこれはどうでしょう。

$$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$$

これは先ほどの様に単純ではありません。どうしたら良いでしょうか。

これは次の公式を思い浮かべるといいでしょう。

$$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$$

ルートを2乗すると普通の数字に戻りますから、これをうまく使えば良さそうです。今回の場合こんな風にしたらどうでしょう。

$$\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}+1$$

分母と分子に\(\sqrt{3}-1\)の後ろの符号を変えた\(\sqrt{3}+1\)をかけることによって分母が普通の数字になるわけですね。そうすれば展開の公式からルートが2乗されてめでたしめでたしです。

この2つのやり方をしっかりと覚えておけば基本的には有理化は大丈夫です。特に2つ目のパターンをできるかできないかは計算の効率にかなり影響しますのでしっかりと覚えておきましょう。

終わりに

ここではルートの再確認と有理化について考えていきました。ルートの計算に関してはあまり触れませんでしたので、不安な人は必ず練習をしておいてください。高校数学では避けて通れませんので・・・。有理化は問題によっては必須だったりもするので(基本的に答えは分母の有理化をしておきます)しっかりとマスターしましょう!

ではまた。

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