対数法則を使う対数計算の問題

 

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対数計算の極意

ここでは対数が含まれる計算の練習をして、その計算方法に慣れていきましょう。とにかく指数と同じで計算がいつもどおりではないので苦しいですが、対数法則をしっかりと抑えながら計算練習をしてみにつけましょう。

対数計算は

 

\(\log_{a}{a}=1\)

 

を意識することができるかどうかで大きく難易度が変わると思います。とにかくこの形を目指していきます。

そのために定数倍は肩にのせたり、場合によっては下ろしたりする必要があります。すなわち

 

\(\log_{a}b^{c}=c\log_{a}b\)

 

を使うのです。また対数を簡単にする場合は

 

真数を指数にする

 

と上記の公式が使いやすくなります。その時の指数は対数の底と指数の底を必ず揃えますよ。公式が使えますからね。

 

重要な方針は指数と同じで

 

全てを底の揃った対数にする

 

ことは常に意識しておくと得なことが多いと思います。

 

 

 

では問題をやってみましょう。

 

 

（１）の解答

まずは（１）ですね。対数計算の方針は最初に示した通りなのでその通りに進めます。

 

\(\log_{\frac{1}{4}}\sqrt[3]{16}\)

 

もちろんやることは真数を指数に直すことです。これは指数計算でさんざんやってきましたね。

 

\(\log_{\frac{1}{4}}{\sqrt[3]{16}}=\log_{\frac{1}{4}}{16^{\frac{1}{3}}}\)

 

対数の底が 1/4 なので、\(16\) を無理やり底が 1/4 の指数に直しましょう。できますね。

 

\(16=\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}\)

 

よって式は

 

\(\log_{\frac{1}{4}}{16^{\frac{1}{3}}}=\log_{\frac{1}{4}}{\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{2}{3}}}\)

 

となりますね。あとは公式を使うだけです。肩は下ろせるので

 

\(\log_{\frac{1}{4}}\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{2}{3}}=-\frac{2}{3}\log_{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}=-\frac{2}{3}\)

 

公式が面白いように当てはまりますよね。基本的に対数はこの形を目指していけばよいですね。

 

（２）の解答

 

（２）は引き算です。これは少し方針を考えなくてはなりません。なぜなら

 

対数の引き算は一つにできる

 

からです。ですからまずはまとめます。もちろんひとつひとつを計算して最後にまとめてもいいですが、それぞれが簡単になるかどうかは問題によります。ですからまとめられるときはやってしまった方が無難ですね。

やってみます。まずは引き算なので真数の割り算にできます。

 

\(\log_{2}{2\sqrt{6}}-\log_{2}{\sqrt{3}}=\log_{2}{\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}}}=\log_{2}{\frac{2\sqrt{18}}{3}}=\log_{2}{\frac{2\cdot 3\sqrt{2}}{3}}=\log_{2}{2\sqrt{2}}\)

 

途中で有理化しましたが単純に

 

\(\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=2\cdot\sqrt{\frac{6}{3}}=2\sqrt{2}\) 

 

としてもOKです。どちらにしてもここまでくればあとは（１）と同じですね。

 

\(\log_{2}{2\sqrt{2}}=\log_{2}{2\cdot 2^{\frac{1}{2}}}=\log_{2}{2^{\frac{3}{2}}}=\frac{3}{2}\log_{2}{2}=\frac{3}{2}\)

 

意外とすんなりですね。

 

（３）の解答

 

この問題は変わっていますがやることは決まっています。

なぜすぐわかるかというと私たちは

 

対数の掛け算はどうしようもできない

 

からです。これ以上何もやることはありません。

ですが「やれること」はあります。それは底をそろえることです。

 

底を変える方法として私たちは底の変換公式

 

\(\log_{a}{b}=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}\)

 

を持っていますね。では底は何にするのか。基本は

 

一番小さい底

 

でいいでしょう。場合によってはこれにした方がいいという状況がありますが基本は問題で出てきている対数の底の中で一番小さいものに合わせてみましょう。

 

問題をやってみましょうか。今回は

 

\(\log_{3}{4}\cdot\log_{4}{5}\cdot\log_{5}{9}\)

 

ですので、すべて底を \(3\) にしてみましょう。

 

\(\log_{3}{4}\cdot\frac{\log_{3}{5}}{\log_{3}{4}}\cdot\frac{\log_{3}{9}}{\log_{3}{5}}\)

 

こうすると見えてきますね。おんなじ対数が分数の上と下にあります。もちろんおなじものがあったら約分してよいので。

 

\(\log_{3}{9}=\log_{3}{3^{2}}=2\log_{3}{3}=2\)

 

で終わりです。あっけないですが非常に大事な問題です。

 

まとめ

対数の計算は「2つの重要な公式をまず覚えること」と「そこに近づけていくという方針」がとても大事です。計算は慣れですが、闇雲にやっても効率は良くありません。どうすれば解けるかを常に考えて問題にあたってみましょう。

 

ではまた