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点と直線の距離の公式とその使い方

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

この記事のトピックは「点と直線の距離の公式の確認・使い方とその注意点」です。

 

 

点と直線の距離は簡単に求められる?

直線と点について学んだら、やはり次はそれらの関係を学ばなくてはならないでしょう。

何を学ぶかというと

 

点と直線の距離

 

です。そもそも点と直線の距離とは何かというと

 

 

このように点と直線の最短距離のことです。まあつまり「点から直線に垂直に下ろした線分の長さ」ということですね。

実はこの線分の長さは求めることができます。点と点の距離を求めることを私たちはしてきましたが、それに加えて点と直線の距離をも求めることが可能になるわけです。

 

ではどうやって求めるのか。それは次のように公式になっています。

 

 

 

点 \((x_{1}, y_{1})\) と直線 \(ax+by+c=0\) の距離 \(d\) は

 

\(\displaystyle d=\frac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

 

である

 

 

 

みた途端嫌になる公式ですが、一個ずつ見ていきましょう。

まず今の状況ですが、先ほどの図のように

 

 

この距離 \(d\) を求めたいわけです。わかっているのは直線の方程式 \(ax+by+c=0\) 点の座標 \(x_{1},y_{1})\) です。

この時距離 \(d\) というのは分母として

 

\(\sqrt{a^2+b^2}\)

 

つまり直線の方程式の \(x,y\) についている係数二乗して足してルートをとった数を考えます。そして分子として

 

\(|ax_{1}+by_{1}+c|\)

 

直線の方程式の \(x,y\)点の座標 \(x_{1},y_{1})\) を代入した値の絶対値

を入れてあげます。これで終わりです。これだけであの微妙な位置にある距離を求めることができるのですね。

一番重要なことはとにかく

 

直線の方程式と点が与えられれば、その間の距離を求めることができる

 

という事実です。これを頭に入れて、まずは公式を使えるようにしていきましょう。

点と直線の距離の公式を使ってみる

では実際に簡単な問題を通して使ってみましょう。当てはめるだけではあるのですが、ちょっとした注意もありますのでしっかりみていきます。

 

例題点 \((1,3)\) と 直線 \(3x-4y-1=0\) の距離を求めよ

 

まずは当てはめるだけの問題をやってみます。どこが何に対応しているのかをしっかりとみます。

 

まず公式でいう\(a,b\) は \(a=3, b=-4\) ですね。直線の方程式の \(x,y\) の係数でしたから。

 

また点の座標は \((1,3)\) なので \(x_{1}=1, y_{1}=3\) です。これも大丈夫ですね。

 

では必要な量を計算していきましょう。まずは分母から。分母は

 

\(\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5\)

 

ですね。分子は直線の式に点の座標を代入するのでしたから

 

\(|3\cdot 1+(-4)\cdot 3 -1|=|3-12-1|=|-10|=10\)

 

となります。どこに何を入れるのかをイメージしながら追ってみましょう。絶対値なのでマイナスにはならないので注意です。

ここから

 

\(\displaystyle d=\frac{10}{5}=2\)

 

で求めることができました。つまり

 

 

という距離を出すことができました。直線と点を見定めれば距離が簡単に求められました。

この問題は当てはめるだけで簡単でしたが、こんな場合は注意が必要です。

 

例題点\((3,-4)\) 直線 \(y=-3x+4\) の距離を求めよ

 

この問題は直線の方程式が公式の形になっていません。ですからこのままでは公式に当てはめることはできませんね。

ですから

 

\(y=-3x+4\) より \(3x+y-4=0\)

 

と変形させておく必要があります。そのままやると符号がごちゃごちゃになるので必ず一般的な直線の式の形にするようにしましょう。

こうなれば

 

\(\sqrt{(-3)^2+1^2}=\sqrt{10}\)

 

で分子は

 

\(|3\cdot 3+1\cdot (-4)-4|=|9-4-4|=1\)

 

ですから

 

\(\displaystyle d=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\)

 

です。最後に公式をもう一度おさらいしましょう。

 

 

 

点 \((x_{1}, y_{1})\) と直線 \(ax+by+c=0\) の距離 \(d\) は

 

\(\displaystyle d=\frac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

 

公式の使い所

この公式のすごいところは

 

点と直線が出てくればその間の距離を求めることができる

 

ということです。当たり前のことを言っているかもしれませんが、この事実はとても重要です。

図形は基本的にでできています。ですから図形の長さを求めることは基本的に点や線の間の距離を求めることになるのです。

つまり点と線の距離が求められることになれば

 

図形を点・線で見てあげる

 

という視点が生まれることになります。これはとても大きな進歩です。

図形を図形としてみるのではなく、座標平面に乗っかったの集まりと見られるわけですね。

この視点は問題を解いていく中でだんだんと見えてくるものですが、少し意識があるだけでも見え方が全然違ってきますのでぼんやりとでも頭に入れておくと良いでしょう。

まとめ

公式の解説はしていませんが、使う際の注意点を中心に解説しました。この公式は覚えるだけでは意味がなく、それを問題でどう使っていくかが大変重要です。公式を覚えたら後はそれをどこで使うかを学んでいく段階になります。頑張りましょう。

ではまた。

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