「高校数学の知識庫」を今より10倍活用する方法

(補足)三角比の相互関係の導出

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

相互関係は三平方の定理から

三角比の相互関係はどこからともなく出てきたように思えますが、そうではありません。実は

「三平方の定理」

という私たちに馴染み深い定理から出てきた「自然」な関係です。今回はその相互関係の導出を見ていきます。では早速いきましょう。

直角三角形において次の式が成り立ちます。

$$b^2=a^2+c^2$$

「斜辺の2乗は他の辺の2乗の和と等しい」。これが三平方の定理です。ここからスタートします。

三角比の定義は

$$\sin\theta=\frac{AB}{BC}=\frac{a}{b}$$

$$\cos\theta=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}$$

$$\tan\theta=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}$$

でしたから、ここから上の2つを使って

$$a=b\sin\theta$$

$$c=b\sin\theta$$

とかけます。これは定義から辺の長さを出す大事な考え方でしたね。これを三平方の定理の式に代入すると

$$b^2=(b\sin\theta)^2+(b\cos\theta)^2$$

$$b^2=b^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta$$

です。\(b\neq 0\)より\(b^2\)で割ると、

$$1=\sin^2\theta+\cos^2\theta$$

となり、大事な相互関係が出てきました。三角比を導入したことによって、三平方の定理が別の表現になったということもできます。

また、定義に戻って、\(\tan\)は

$$\tan\theta=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}$$

でしたが、これの右辺の分母と分子を\(b\)で割ると

$$\tan\theta=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{b}}$$

であります。右辺の分母と分子を見ると見たことのある形があります。それは\(\sin,\cos\)です。書き換えると、

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

となり、相互関係の2つ目が出てきました。この相互関係は三角比の定義から当たり前に出てくるものだったわけです。

最後の相互関係も何も難しいことはしません。先ほど出てきた

$$1=\sin^2\theta+\cos^2\theta$$

の相互関係の両辺を\(\cos^2\theta\)で割るだけです。やると、

$$\frac{1}{\cos^2\theta}=\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+1$$

でついさっき求めた

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

を使えば、\(\tan\theta\)で書き換えることができて

$$\frac{1}{\cos^2\theta}=\tan^2\theta+1$$

となり、3つ目も求めることができました。

大々的に相互関係と言っている割には意外と簡単に求められてしまうわけですね。ぜひ自分で作れるようになってください。

いったん広告の時間です。

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終わりに

今回は補足事項として相互関係の証明を行いました。三角比の定義から自然に導かれるこの公式が威力を発揮することは皆さんももうお分かりだと思います。まだ勉強していない人もこれから使えば三角比のありがたみを相互関係の使い勝手にふれられると思います。

ではまた。

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