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三角比の補角(\(180^\circ-\theta\))・余角(\(90^\circ-\theta\))の公式

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

補角・余角とは

補角は

2つの角の和が\(180^\circ\)になるとき、そのそれぞれの角は互いに補角をなすという

という風に説明されます。

例えば\(60^\circ\)と\(120^\circ\)は互いに補角をなします。簡単ですね。

なので一般的にある角度\(\theta\)の補角は

$$180^\circ-\theta$$

となります。

また、余角は

2つの角の和が\(90^\circ\)になるとき、それぞれの角は互いに余角をなすという

です。例えば\(30^\circ\)と\(60^\circ\)は余角の関係にあります。

これも一般的にある角度\(\theta\)の余角は

$$90^\circ-\theta$$

と表せます。ここまでは難しくありませんね。

今回はこれらの補角・余角同士の角度の三角比はどのような関係になっているかを調べていきましょう。まずは補角からです。

補角の三角比

まず結果から言いましょう。補角同士の三角比は以下の関係になっています。

$$\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta$$

$$\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$$

$$\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta$$

サインはそのまま、コサインはマイナス、タンジェントもマイナスです。タンジェントはサインとコサインから簡単にわかりますね。相互関係があります。

ではなぜこうなるのかを説明しましょう。一つ具体的に例を挙げてすべての角について成り立ちそうであることを言います。

まず次の図を見てください。

\(60^\circ\)と\(120^\circ\)の三角比を考えるときに作る単位円の図ですね。\(60^\circ\)と\(120^\circ\)は互いに補角の関係にあります。

単位円上ではあくまで円周上の点の座標がそのまま三角比の値でした。\(x\)座標が\(\cos\)、\(y\)座標が\(\sin\)でしたね。

もちろんここからわかることは

$$\sin 120^\circ=\sin 60^\circ$$

$$\cos120^\circ=-\cos 60^\circ$$

です。確かに先ほど説明した補角の三角比の関係に従っていますね。

さて、この図を見てわかる通り、\(60^\circ\)と\(120^\circ\)に限らず、補角の関係にある角同士は\(x\)座標はちょうどプラスマイナス逆の関係\(y\)座標は同じ値になります。ちょうど\(y\)軸で折り返した図になるからです。だからどんなときも、補角同士であれば\(x\)座標はプラスマイナスが逆、\(y\)座標が同じなのです。すなわち、一般的な角度\(\theta\)において

$$\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta$$

$$\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$$

$$\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta$$

が説明できるわけです。イメージ出来ましたか?\(y\)軸で折り返すイメージが重要です。

余角の三角比

余角についても最初にその関係を見せておきましょう。余角同士は次の関係に従います。

$$\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta$$

$$\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta$$

$$\tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}$$

\(\sin\)と\(\cos\)が逆の関係になります。それに伴って\(\tan\)は逆数になります。

さてこれはどこから出てきたのでしょうか。

実はこれは三角比を定義したときにもうわかりきっていることなのです。定義をもう一度確認しておきます。

この図において、\(\theta\)の三角比は次のようになります。

$$\sin\theta=\frac{a}{b}$$

$$\cos\theta=\frac{c}{b}$$

$$\tan\theta=\frac{a}{c}$$

そして、\(\theta\)ではないもう一つの角度は直角三角形なので\(90^\circ-\theta\)です。これの三角比がどうなるかを考えてみます。倒すとわかりやすいでしょうか。

もちろん同じ直角三角形です。これで\(90^\circ-\theta\)の三角比を同じように考えると

$$\sin(90^\circ-\theta)=\frac{c}{b}$$

$$\cos(90^\circ-\theta)=\frac{a}{b}$$

$$\tan(90^\circ-\theta)=\frac{c}{a}$$

となりますよね。これと先ほどの\(\theta\)の式を見比べると確かに、

$$\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta$$

$$\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta$$

$$\tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}$$

となっていることが確認できます。定義の段階でこのような性質が出てきていたわけですね。

終わりに

ここでは補角・余角の三角比の関係を見ていきました。使い時はいろいろありますが、特に多いのは補角の関係。円に内接する四角形では使うことが多い公式です。地味なところなので忘れてしまっている人も多いと思いますが、突然問われることもあるので気を付けておきましょう。

ではまた。

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