「高校数学の知識庫」を今より10倍活用する方法

円に内接する四角形の性質

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

円に内接する四角形とは

三角比の分野でよく出てくるのが「円に内接する四角形」です。これは

四角形の頂点がすべて円上にある

といってもいいし、

四角形の頂点をすべて通るような円を書いた時にできる図

と考えてもいいです。要するにこんな感じです。

確かに四角形が円の内側に入っていますよね。だから内接というわけです。別の見方をすると円は四角形に外接しています。三角形でも同じことを考えたはずです。外接円ですね。

さて、円に内接する四角形の説明をしましたが、これだけ考えるのではあまり意味はありません。実はこのように図を作ったときに必ずなりたつ性質があります。それを考えていきましょう。

向かい合う角に注目する

さて、その性質とは一体何でしょうか。これは円周角の定理からわかることです。次の図を見てください。

円周角の定理から、ある弧に対する円周角と中心核の関係は2倍の関係にあります。なので上の図にあるように角Aと角Cの中心核はそれぞれ2A、2Cになります。ここで円の中心に目を向けてみるともちろん一周は\(360^\circ\)ですから、

$$2A+2C=360^\circ$$

になります。両辺を2で割れば

$$A+C=180^\circ$$

となります。これが円に内接する四角形の最も大事な性質です。つまり

 

円に内接する四角形において、向かい合う角の和は\(180^\circ\)である

 

と言えます。これはどんな四角形でも言えることですので覚えておいてください。

なぜ突然四角形なのか

説明はこれで終わりになってしまいますが、あまりにも少ないので、少し裏話をしましょう。何かというと、なぜ突然四角形を考えたのかです。

三角形についてはもう外接円も学びましたし、正弦定理を使ってその半径を出せることもわかりました。

ですが、四角形は今まで何も考えてなかったはずですし、今までの定理はすべて三角形に適用できるものでした。

なぜ四角形か。それは

四角形の中に三角形があるから

です。四角形は対角線を引けば三角形に分けることができます。そうすれば三角形の定理がすべて適用できるのです。

さらに今回考えた円に内接する四角形は見方を変えればこの中には三角形があり、かつ円はその三角形の外接円にもなっているのです。

問題を作る側としてはこれを利用しない手はありません。いろいろな能力が見れますし。公式を覚えているか・多角的に物事を見れるかを問うにはうってつけです。

このような理由で四角形もこの三角比に入ってくるのですね。この性質を使った問題は次に譲るとして、まずは前提として上記のことを覚えておくと問題を解くのに役立ちます。

終わりに

今回は少なめですがここまでです。円に内接する四角形は問題にされやすいですし、ここと図形の性質の知識を合わせた問題も多くみられますので、三角比の範囲でここをマスターしましょう。

ではまた。

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