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三角関数講座その5(不等式、簡単なグラフの問題)

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今回の問題はこちら。

制限時間 6です。自力で解きましょう。解いてから下の解説に移ってくださいね。短いかもしれませんがそれぐらいスピーディーに解けて欲しい問題です。

 

 

 

 

 

解きましたでしょうか。では解説に移ります。

 

 

 

 

 

今回は時間が短かったですね。理由はただ一つ。

すぐできれば理解しているからOK、できなければやり方をおさえる

この2つに一つだからです。簡単と思えた人はよくできていますのでこの下の解説はいらないかもしれません。他の問題にチャレンジしたり、センター形式になれるために問題集を使ってたくさん解きましょう。

できなかった人も悲観することはありません。不等式の捉え方がまだ不十分なだけだし、グラフの知識もすっかり忘れているだけでここでやれば解けるようになるはずです。ですから下の解説をよく見て、そのあとに参考書等で練習しましょう。

というわけで解説に移ります。

まず三角関数お馴染みの変形です。2倍角の公式ですね。

$$\sin2x=2\sin x\cos x$$

大丈夫ですね。これによって関数は

$$y=\sqrt{2}\cos x+2\sin x\cos x$$

となります。この後問題文を見ると何やら因数分解のようなことをしています。

確かに2つの項どちらにも \(\cos x\) が入っていますので簡単に因数分解できます。

$$y=y=\sqrt{2}\cos x+2\sin x\cos x=\cos x(\sqrt{2}+2\sin x)$$

ここまでは流れに乗るとできるはずです。問題はここから。

次に \(y<0\) を計算しなさいと言われましたのでそのまま書くと

$$\cos x(\sqrt{2}+2\sin x)<0$$

です。はて、どう解きましょうか。

「二次不等式でもないし、こんな形見たことない」

そう思った人はここで不等式に対する意識を変えてみてください。

いつも解く不等式はおそらく二次不等式だと思いますが、なぜ”因数分解”をするのでしょうか。

一次不等式はなんてことはありません。一次方程式を解く要領で解くだけでしたね。

$$2x-3>0$$

$$2x>3$$

$$x>\frac{3}{2}$$

ですが二次不等式になると話は別です。\(x\) だけにすることができないので

$$x^2+2x-3>0$$

$$(x+3)(x-1)>0$$

とします。ここで多くの人は解き方を暗記していて

$$x<-3\ ,\ x>1$$

としてしまうと思いますが、本当は次のように考えています。

2つの数字をかけてプラスになる組み合わせは

(プラス)\(\times\)(プラス)

(マイナス)\(\times\)(マイナス)

だから、それぞれ

\(x+3>0\) かつ \(x-1>0\)

または

\(x+3<0\) かつ \(x-1<0\)

を解けばいいということになります。実際に解くと

\(x>1\) または \(x<-3\)

となり、答えが導き出せます。

要するに不等式は

掛け算の形にすれば解ける

のです。だから因数分解をするわけですね。なので今回の問題は逆に

\(\cos x>0\) かつ \(\sqrt{2}+2\sin x <0\)

または

\(\cos x<0\) かつ \(\sqrt{2}+2\sin x >0\)

を解けばいいことになります。やることがわかったらあとは計算です。

まず一つ目から。

\(\cos x>0\) より \(0<x<\frac{\pi}{2}\) と \(\frac{3}{2}\pi<x\leqq 2\pi\)

\(\sqrt{2}+2\sin x<0\) より \(\sin x<-\frac{\sqrt{2}}{2}\) なので \(\frac{5}{4}\pi<x<\frac{7}{4}\pi\)

ですから2つの範囲がどちらも入っているところは

$$\frac{3}{2}\pi<x<\frac{7}{4}\pi$$

になります。

2つ目は逆になるので

\(\cos x<0\) より \(\frac{\pi}{2}<x<\frac{3}{2}\pi\) 

\(\sqrt{2}+2\sin x>0\) より \(\sin x>-\frac{\sqrt{2}}{2}\) なので \(0<x<\frac{5}{4}\pi\) と \(\frac{7}{4}\pi<x\leqq 2\pi\)

で、2つの範囲の共通範囲は

$$\frac{\pi}{2}<x<\frac{5}{4}\pi$$

です。よって答えは出した2つどちらもOKなので

$$\frac{3}{2}\pi<x<\frac{7}{4}\pi\ ,\ \frac{\pi}{2}<x<\frac{5}{4}\pi$$

です。答えをだせたら三角関数の不等式も大丈夫ということになります。できなかった人はかならず参考書等で確認してくださいね。

次の問題は全く新しい問題で、三角関数のグラフに関する問題です。ですがやることはただ一つ。それは

\(x\) の前の数字があるならその数字で必ず無理やりくくる

ことです。センターの問題で問われるとしたらここです。これをしないと平行移動の問題で落とし穴にはまってしまいます。

実際にやってみましょう。この問題は \(x\) 軸方向の平行移動はそのまま \(-\frac{\pi}{3}\) と書いたら間違いです。そもそも平行移動は \(x\) を変換していくので、前にある係数はあってはいけません。

ですからこう変形します。

$$y=3\sin\left\{2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right\}+2$$

こうすることで \(y=3\sin 2x\) からどう平行移動したかを考えることができます。

\(y=3\sin 2x\) から与えられた関数になるには

$$x軸方向に\ \ -\frac{\pi}{6}$$

$$y軸方向に\ \ 2$$

だけ平行移動すればいいです。符号に注意してください。2次関数でやったものと同じだと思えばOK。

周期は \(x\) の前の数字だけ見ましょう。今回は \(2\) ですが、次のように計算すれば求めることができます。

三角関数の周期は \(x\) の前の数字が \(k\) なら

$$周期=\frac{2\pi}{k}$$

で計算できる

ので今回の場合は \(\pi\) が周期になります。しっかりとグラフのイメージを固めることも大事なので、もう少し詳しく勉強したい人は参考書等を見ましょう。

というわけで解答はここまでです。お疲れさまでした!

まとめ

今回は冒頭にも書きましたが、わかっていればOK、わかっていない場合は今しっかりと押さえることが大事です。学校では軽く流されるところですが、センターなどの試験では出題者が狙うと得点の分布が変わるような「得点が分かれる」問題になってしまいます。こういうところをしっかりとれるかで得点率が変わってきますので、この記事を読んでくれた方々は「勝ち組」になってもらいたいと思います。

ではまた。

 

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