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短期間で6割!ベクトルの対策と考え方(内分の公式)

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ここではベクトルの問題を考える上で欠かせない一つの公式を示していきます。

それは何かというと

内分に関する公式

です。内分に関しては図形と方程式の範囲でよく出てきましたが、それを使えば三角形が絡んだ内分の公式を求めることができます。それはこんな公式でした。

 

線分ABを \(a:b\) に内分する点を C とし、始点を O として位置ベクトルを考えた時、 \(\vec{OC}\) は \(\vec{OA}\ ,\ \vec{OB}\) を使って次のように書ける。

$$\vec{OC}=\frac{b}{a+b}\vec{OA}+\frac{a}{a+b}\vec{OB}$$

 

これは図形が絡むベクトルの問題(高校数学はほとんど全て図形と絡みます)ほぼ全てに必要な知識です。ですからベクトルの応用問題を解くためには必須のスキルなのですね。

一応証明をしておくと図形と方程式の内分の公式を思い出せば、次のような図のような状況の時、内分点 C の座標 \(C_{x},C_{y}\) は

$$C_{x}=\frac{bx_{1}+ax_{2}}{a+b}$$

$$C_{y}=\frac{by_{1}+ay_{2}}{a+b}$$

でしたが、3点をベクトルの成分表示だと思えば、次のようにかけます。

$$(C_{x},C_{y})=\frac{b}{a+b}(x_{1},y_{1})+\frac{a}{a+b}(x_{2},y_{2})$$

さらにこの座標表記のベクトルを始点が原点のベクトルとして書くと

$$\vec{OC}=\frac{b}{a+b}\vec{OA}+\frac{a}{a+b}\vec{OB}$$

となります。難しい場合は教科書などを参照すれば同じようなことが書いてあるはずです。ただここでは証明はとりあえず置いておいて、この公式はどういう場面で使えるのかを確認していきます。

先ほど出てきた図を眺めると内分点のベクトルは

三角形の2辺を表すベクトルを使ってそれとは別の辺の内分点を表しているようにも見ることができます。この見方がベクトルを図形に応用するための一つ目のステップです。

要するに

 

図のような三角形の辺の内分点を表すベクトルは次の式で書ける

$$\vec{OC}=\frac{b}{a+b}\vec{OA}+\frac{a}{a+b}\vec{OB}$$

 

とも言えるわけです。とても重要な式であり考え方なので必ず押さえてください。

 

少し使用例をあげましょう。

図のような状況を考えます。

この三角形において三角形の辺OA、OBをベクトルと考えて、その2つのベクトルを使って内分点Cを表す \(\vec{OC}\) を作ってみましょう。

一目でこれは先ほど示した公式が使える形だとわかります。すなわちベクトル2つを使って内分点のベクトルを表すわけです。

やってみると、

$$\vec{OC}=\frac{2}{5}\vec{OA}+\frac{3}{5}\vec{OB}$$

となります。実際の三角形でも内分のベクトルの公式が使えることがわかったと思います。

この公式の威力はこの時点ではわからないと思いますがこの後ほとんどのベクトルの問題で使うような重要な公式になりますので覚えておきましょう。

簡単な覚え方を最後に示します。

この公式はこんな風に内分の値とベクトルがクロスするような形になります。

そしてこの公式の内分は線分の長さを \(1\) として考えます

ですから例えば先ほどの問題だと全体が \(3+2\) で \(5\) のうち \(3\) の分は \(\vec{OB}\) に、\(2\) の分は \(\vec{OA}\) にかけてあげることで欲しいベクトルを作れます。クロスしていることを忘れないようにしてください。

もう一題だけやって終わりにしましょう。

次の三角形において \(\vec{AD}\) を \(\vec{AB}\ ,\ \vec{AC}\) を使って作ってください。

正解は

$$\vec{AD}=\frac{5}{12}\vec{AB}+\frac{7}{12}\vec{OC}$$

です。おんなじですよね。

まとめ

ここで示したことはベクトルの公式のなかでも最重要の公式です。とにかくまずは公式を使いながら覚えることが重要です。使う上での注意は問題をやりながら抑えていくことにしましょう。

ではまた。

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