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必ず押さえておきたいベクトルの問題その2~part2~

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この記事では次の問題の後半部分をやっていきます。もしまだ問題を解いていない人がいたらぜひ問題を解いてから解答をご覧ください。

前半部分の解答はこちら

 

では続きの問題をやっていきましょう。前回の問題でやったものと同じような感じですが、少しだけ見づらい部分もあるので特に注意して解説していきます。

まず問題を見たときに、ある面積を他の面積と比べている時点で前回使った比を使うパターンであると認識しましょう。

なのである面積を基準にしてそれと他の面積を比を使って比べていく感じです。

今回は三角形ABCと三角形BFDを比べるので三角形ABCからスタートして三角形BFDを表してみます。

まず準備としてこの問題の前半部分で出した答えを使って比を書き込みましょう。

書くと次のようになります。

これが書ければあとは隣り合う三角形に注目していくのでしたね。

今は三角形ABCと三角形BFDを比べたいのですがさすがに一度では分かりそうにありません。そういう時はどんどんと面積を移していくのでしたね。

まずは三角形ABCと三角形ABD、三角形ADCの関係がわかりそうです。

なぜかというと \(BD:DC=3:2\) で、三角形ABDと三角形ADCは高さが同じなので

$$\triangle{ABD}:\triangle{ADC}=3:2$$

であることがすぐにわかります。よって三角形ABCと比べれば

$$\triangle{ABD}=\frac{3}{5}\triangle{ABC}$$

$$\triangle{ADC}=\frac{2}{5}\triangle{ABC}$$

であることがわかりました。では次はどうすればいいでしょうか。

私たちが欲しいのは三角形BDFですから、これと比べられる面積を考えればOKです。

となるとそれは・・・三角形ABDですね。これが見えれば管理人が教えることはもうありません。実際に取り出してみると、

のようになっています。確かに隣り合っていて高さが等しい面積同士になっています。

というわけで三角形ABDと三角形BDFを比べましょう。これは先ほど確認した比を使えば、

$$\triangle{ABD}:\triangle{BDF}=2:1$$

とわかりますので、

$$\triangle{BDF}=\frac{1}{2}\triangle{ABD}$$

ですね。この式はしっかり考えてもいいですし、(4)式を変形しても簡単に得られます。

というわけで求めたいのは三角形ABCと三角形BDFの関係ですから、

$$\triangle{BDF}=\frac{1}{2}\triangle{ABD}$$

$$\triangle{BDF}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}\triangle{ABC}$$

$$\triangle{BDF}=\frac{3}{10}\triangle{ABC}$$

となりました。大丈夫でしょうか。

ここまでできた人は次の問題も何不自由なくできたのではないでしょうか。もし前半部分に詰まってしまった人はこの先の解答を見ずに一度自分で解いてみてください。

次もやることは同じです。比べたいのは三角形ABEと三角形ABDですから、どちらを基準にしてもいいですが、小さくしていくほうが今までと同じになるので三角形ABEからどんどん面積を移していきましょう。

まずは三角形ABFと三角形AFEに注目ですね。これらは隣り合った面積ですから、

$$\triangle{ABF}:\triangle{AFE}=2:3$$

ですね。よって大きい三角形ABEと比べると、

$$\triangle{ABF}=\frac{2}{5}\triangle{ABE}$$

$$\triangle{AFE}=\frac{3}{5}\triangle{ABE}$$

です。次は先ほども着目した三角形に注目します。三角形ABDと三角形BDFですね。これは先ほどと同じように、

$$\triangle{ABD}:\triangle{BDF}=2:1$$

ですので、三角形ABFと三角形ABDの関係は

$$\triangle{ABF}=\frac{2}{3}\triangle{ABD}$$

となります。よって大きな三角形とも比べることができそうです。

$$\triangle{ABF}=\frac{2}{5}\triangle{ABE}$$

より

$$\frac{2}{5}\triangle{ABE}=\frac{2}{3}\triangle{ABD}$$

$$\triangle{ABE}=\frac{5}{3}\triangle{ABD}$$

よって比に直せば

$$\triangle{ABE}:\triangle{ABD}=5:3$$

となります。意外と簡単ですよね?

まとめ

面積比の問題は2回目ですが、どれも比を使って移していく感覚が大事です。

解くときには必ず基準を決めてそれと比べて面積がどうなっているのかをきちんと理解しながら進めていきましょう。式とイメージをしっかりと結びつけながら解くといいでしょう。

ではまた。

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